Bài 109910

Question

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=a,AD=b$.Trên hai tia $Ax,Cy$ cùng chiều và cùng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ lần lượt lấy hai điểm $M,N$.Đặt $AM=x,CN=y$.Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để nhị diện $(M,BD,N)$ có số đo bằng $60^0$ là :
$\frac{(x+y)ab}{\sqrt{a^2+b^2} }=\sqrt{3}(xy-\frac{a^2b^2}{a^2+b^2} ) $

score 0 · Answer 1

Ta dựng :
- $AE$ vuông góc với $BD$ tại $E$
- $CF$ vuông góc với $BD$ tại $F$
suy ra $\widehat{AEN},\widehat{CFN} $ theo thứ tự là góc nhị diện của $(A,BD,M)$ và $(C,BD,N)$
Ta có
$(A,BD,M)+(M,BD,N)+(C,BD,N)=(A,BD,C)=180^0$
Vậy điều kiện cần và đủ để nhị diện $(M,BD,N)$ có số đo bằng $60^0$ là :
$(A,BD,M)+(C,BD,N)=120^0\Leftrightarrow \widehat{AEM}+\widehat{AFN}=120^0 $
$tan (\widehat{AEM}+\widehat{CFN} )=tan120^0\Leftrightarrow \frac{tan\widehat{AEM}+tan\widehat{CFN} }{1-tan\widehat{AEM}.tan\widehat{CFN} } =-\sqrt{3} $
Trong $\Delta ABD$ vuông tại $A$ ta có:
$\frac{1}{AE^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}     \Rightarrow AE=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2} } =CF$
Trong $\Delta AEM$ vuông tại $A$ ta có :
$tan\widehat{AEM}=\frac{AM}{AE}=\frac{x\sqrt{a^2+b^2} }{ab}        (2)$
Trong $\Delta NCF$ vuông tại $C$ ta có :
$tan\widehat{CFN}=\frac{CN}{CF}=\frac{y\sqrt{a^2+b^2} }{ab}        (3)$
Thay $(2),(3)$ vào $(1)$ ta được :
$\frac{\frac{x\sqrt{a^2+b^2} }{ab}+\frac{y\sqrt{a^2+b^2} }{ab} }{1-\frac{x\sqrt{a^2+b^2} }{ab} .\frac{y\sqrt{a^2+b^2} }{ab} } =-\sqrt{3} $
$\Leftrightarrow ab\sqrt{a^2+b^2}(x+y)=\sqrt{3}[xy(a^2+b^2)-a^2b^2] $
$\Leftrightarrow \frac{(x+y)ab}{\sqrt{a^2+b^2} }=\sqrt{3}(xy-\frac{a^2b^2}{a^2+b^2} ) $

Bài 109910

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109910

1 Đáp án

Liên quan

Góc giữa hai mặt phẳng

Lý thuyết liên quan