Bài 109910

Question

Cho hình chữ nhật

$ABCD$ có

$AB=a,AD=b$ .Trên hai tia

$Ax,Cy$ cùng chiều và cùng vuông góc với mặt phẳng

$(ABCD)$ lần lượt lấy hai điểm

$M,N$ .Đặt

$AM=x,CN=y$ .Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để nhị diện

$(M,BD,N)$ có số đo bằng

$60^0$ là :

$\frac{(x+y)ab}{\sqrt{a^2+b^2} }=\sqrt{3}(xy-\frac{a^2b^2}{a^2+b^2} )$

score 0 · Answer 1

Ta dựng :
-

$AE$ vuông góc với

$BD$ tại

$E$
-

$CF$ vuông góc với

$BD$ tại

$F$
suy ra

$\widehat{AEN},\widehat{CFN}$ theo thứ tự là góc nhị diện của

$(A,BD,M)$ và

$(C,BD,N)$
Ta có

$(A,BD,M)+(M,BD,N)+(C,BD,N)=(A,BD,C)=180^0$
Vậy điều kiện cần và đủ để nhị diện

$(M,BD,N)$ có số đo bằng

$60^0$ là :

$(A,BD,M)+(C,BD,N)=120^0\Leftrightarrow \widehat{AEM}+\widehat{AFN}=120^0$

$tan (\widehat{AEM}+\widehat{CFN} )=tan120^0\Leftrightarrow \frac{tan\widehat{AEM}+tan\widehat{CFN} }{1-tan\widehat{AEM}.tan\widehat{CFN} } =-\sqrt{3}$
Trong

$\Delta ABD$ vuông tại

$A$ ta có:

$\frac{1}{AE^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} \Rightarrow AE=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2} } =CF$
Trong

$\Delta AEM$ vuông tại

$A$ ta có :

$tan\widehat{AEM}=\frac{AM}{AE}=\frac{x\sqrt{a^2+b^2} }{ab} (2)$
Trong

$\Delta NCF$ vuông tại

$C$ ta có :

$tan\widehat{CFN}=\frac{CN}{CF}=\frac{y\sqrt{a^2+b^2} }{ab} (3)$
Thay

$(2),(3)$ vào

$(1)$ ta được :

$\frac{\frac{x\sqrt{a^2+b^2} }{ab}+\frac{y\sqrt{a^2+b^2} }{ab} }{1-\frac{x\sqrt{a^2+b^2} }{ab} .\frac{y\sqrt{a^2+b^2} }{ab} } =-\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow ab\sqrt{a^2+b^2}(x+y)=\sqrt{3}[xy(a^2+b^2)-a^2b^2]$

$\Leftrightarrow \frac{(x+y)ab}{\sqrt{a^2+b^2} }=\sqrt{3}(xy-\frac{a^2b^2}{a^2+b^2} )$

Bài 109910

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109910

1 Đáp án

Liên quan

Góc giữa hai mặt phẳng

Lý thuyết liên quan