Bài 109895

Question

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,D$ với $AB=2a,AD=DC=a,SA=a\sqrt{2} $ và vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$
$a.$ Tính số đo nhị diện $(S,BC,A)$
$b.$ Tính số đo nhị diện $(A,BC,C)$
$c.$ Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SBC),(SCD)$

score 0 · Answer 1

$a.$ Ta có ngay :
$\begin{cases} BC\bot AC\\BC\bot SA\end{cases} \Rightarrow BC\bot (SAC)$
$\Rightarrow \begin{cases} BC\bot SC\in (S,BC)\\BC\bot AC\in (A,BC)\end{cases} $
suy ra $\widehat{SCA} $ là góc phẳng nhị diện $(S,BC,A)$
Gọi $E$ là trung điểm $AB$ suy ra $AE=BE=a,CE=a$
Trong $\Delta SAC$ vuông tại $A$ ta có :
$AC=a\sqrt{2} $ vì $AC$ là đường chéo của hình vuông $ADCE$
$\Rightarrow AC=SA\Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại $A\Rightarrow \widehat{SCA}=45^0 $
Vậy số đo nhị diện $(S,BC,A)$ bằng $45^0$
$b.$ Ta có:
$\begin{cases} CE\bot AB\\CE\bot SA\end{cases} \Rightarrow CE\bot (SAB)$
Hạ $CF\bot SB$ tại $F$ suy ra :
$EF\bot SB$ theo định lí ba đường vuông góc
Do đó góc $\widehat{CFE} $ là góc phẳng nhị diện $(A,SB,C)$
Hai tam giác vuông $SAB,EFB$ có chung góc nhọn $\widehat{B} $ nên chúng đồng dạng suy ra :
$\frac{EF}{SA}=\frac{EB}{SB}\Rightarrow EF=\frac{SA.EB}{SB}   =\frac{a\sqrt{2}a }{\sqrt{(a\sqrt{2} )^2+(2a)^2} } =\frac{a\sqrt{3} }{3} $
Trong $\Delta CEF$ vuông tại $E$ ta có :
$tan\widehat{CFE}=\frac{CE}{EF} =\frac{a}{\frac{a\sqrt{3} }{3} } =\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{CFE}=60^0 $
Vậy số đo nhị diện $(A,SB,C)$ bằng $60^0$
$c.$ Hạ $AP\bot SB$ tại $P$ suy ra :
$\begin{cases}AP\bot SB\\AP\bot CD \end{cases} \Rightarrow AP\bot (SCD)       (1)$
Hạ $AQ\bot SC$ tại $Q$ suy ra :
$\begin{cases}AQ\bot SC\\AQ\bot BC \end{cases} \Rightarrow AQ\bot (SBC)        (2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra $((SCD),(SBC))=\widehat{PAQ} $
Trong $\Delta SAD$ vuông tại $A$ ta có :
$SD^2=SA^2+AD^2=(a\sqrt{2} )^2+a^2=3a^2\Rightarrow SD=a\sqrt{3} $
$\frac{1}{AP^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AD^2} =\frac{1}{(a\sqrt{2} )^2}+\frac{1}{a^2}    =\frac{3}{2a^2}\Rightarrow AP=\frac{a\sqrt{6} }{3} $
Trong $\Delta SAC$ vuông tại $A$ ta có :
$SA=AC=a\sqrt{2} \Rightarrow AQ=\frac{SC\sqrt{2} }{2}=a $
Trong $\Delta APQ$ vuông tại $P$ ta có :
$cos\widehat{PAQ}=\frac{AP}{AQ}=\frac{\frac{a\sqrt{6} }{3} }{a}   =\frac{\sqrt{6} }{3} $
Vậy ta được $cos((SBC),(SCD))=\frac{\sqrt{6} }{3} $

Bài 109895

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109895

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan