Bài 109895

Question

Cho hình chóp

$S.ABCD$ có đáy

$ABCD$ là hình thang vuông tại

$A,D$ với

$AB=2a,AD=DC=a,SA=a\sqrt{2}$ và vuông góc với mặt phẳng

$(ABCD)$

$a.$ Tính số đo nhị diện

$(S,BC,A)$

$b.$ Tính số đo nhị diện

$(A,BC,C)$

$c.$ Tính góc giữa hai mặt phẳng

$(SBC),(SCD)$

score 0 · Answer 1

$a.$ Ta có ngay :

$\begin{cases} BC\bot AC\\BC\bot SA\end{cases} \Rightarrow BC\bot (SAC)$

$\Rightarrow \begin{cases} BC\bot SC\in (S,BC)\\BC\bot AC\in (A,BC)\end{cases}$
suy ra

$\widehat{SCA}$ là góc phẳng nhị diện

$(S,BC,A)$
Gọi

$E$ là trung điểm

$AB$ suy ra

$AE=BE=a,CE=a$
Trong

$\Delta SAC$ vuông tại

$A$ ta có :

$AC=a\sqrt{2}$ vì

$AC$ là đường chéo của hình vuông

$ADCE$

$\Rightarrow AC=SA\Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại

$A\Rightarrow \widehat{SCA}=45^0$
Vậy số đo nhị diện

$(S,BC,A)$ bằng

$45^0$

$b.$ Ta có:

$\begin{cases} CE\bot AB\\CE\bot SA\end{cases} \Rightarrow CE\bot (SAB)$
Hạ

$CF\bot SB$ tại

$F$ suy ra :

$EF\bot SB$ theo định lí ba đường vuông góc
Do đó góc

$\widehat{CFE}$ là góc phẳng nhị diện

$(A,SB,C)$
Hai tam giác vuông

$SAB,EFB$ có chung góc nhọn

$\widehat{B}$ nên chúng đồng dạng suy ra :

$\frac{EF}{SA}=\frac{EB}{SB}\Rightarrow EF=\frac{SA.EB}{SB} =\frac{a\sqrt{2}a }{\sqrt{(a\sqrt{2} )^2+(2a)^2} } =\frac{a\sqrt{3} }{3}$
Trong

$\Delta CEF$ vuông tại

$E$ ta có :

$tan\widehat{CFE}=\frac{CE}{EF} =\frac{a}{\frac{a\sqrt{3} }{3} } =\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{CFE}=60^0$
Vậy số đo nhị diện

$(A,SB,C)$ bằng

$60^0$

$c.$ Hạ

$AP\bot SB$ tại

$P$ suy ra :

$\begin{cases}AP\bot SB\\AP\bot CD \end{cases} \Rightarrow AP\bot (SCD) (1)$
Hạ

$AQ\bot SC$ tại

$Q$ suy ra :

$\begin{cases}AQ\bot SC\\AQ\bot BC \end{cases} \Rightarrow AQ\bot (SBC) (2)$
Từ

$(1),(2)$ suy ra

$((SCD),(SBC))=\widehat{PAQ}$
Trong

$\Delta SAD$ vuông tại

$A$ ta có :

$SD^2=SA^2+AD^2=(a\sqrt{2} )^2+a^2=3a^2\Rightarrow SD=a\sqrt{3}$

$\frac{1}{AP^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AD^2} =\frac{1}{(a\sqrt{2} )^2}+\frac{1}{a^2} =\frac{3}{2a^2}\Rightarrow AP=\frac{a\sqrt{6} }{3}$
Trong

$\Delta SAC$ vuông tại

$A$ ta có :

$SA=AC=a\sqrt{2} \Rightarrow AQ=\frac{SC\sqrt{2} }{2}=a$
Trong

$\Delta APQ$ vuông tại

$P$ ta có :

$cos\widehat{PAQ}=\frac{AP}{AQ}=\frac{\frac{a\sqrt{6} }{3} }{a} =\frac{\sqrt{6} }{3}$
Vậy ta được

$cos((SBC),(SCD))=\frac{\sqrt{6} }{3}$

Bài 109895

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109895

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan