Bài 109875

Question

Cho hình chóp tứ giác đều

$S.ABCD$ có cạnh đáy bằng

$a$ , tâm

$O$ .Gọi

$M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh

$SA,BC$ .Biết rằng góc giữa

$MN$ và

$(ABCD)$ bằng

$60^0$

$a.$ Tính

$MN,SO$

$b.$ Tính góc giữa

$MN$ và mặt phẳng

$(SBD)$

score 0 · Answer 1

$a.$ Gọi

$H$ là trung điểm của

$OA$ suy ra:

$MH//SO\Rightarrow MH\bot (ABCD)$
suy ra

$NH$ là hình chiếu vuông góc của

$MN$ trên

$ABCD$ do đó

$(MN,(ABCD))=\widehat{MNH}=60^0$
Trong

$\Delta HNC$ ta có:

$NH^2=CN^2+CH^2-2CN.CHcos\widehat{NCH}$

$=(\frac{a}{2} )^2+(\frac{3a\sqrt{2} }{4} )^2-2.\frac{a}{2}.\frac{3a\sqrt{2} }{4} .cos45^0=\frac{10a^2}{16}$

$\Rightarrow NH=\frac{a\sqrt{10} }{4}$
Trong

$\Delta HMN$ vuông tại

$H$ ta có:

$MN=\frac{NH}{cos\widehat{MNH} } =\frac{\frac{a\sqrt{10} }{4} }{cos60^0} =\frac{a\sqrt{10} }{2}$

$MH=NH.tan\widehat{MNH}=\frac{a\sqrt{10} }{4} .tan60^0=\frac{a\sqrt{10} }{4}$
Trong

$\Delta OSA$ ta có

$MH$ là đường trung bình nên :

$SO=2MH=\frac{a\sqrt{30} }{2}$

$b.$ Giả sử :

$AN\cap BD=K\Rightarrow (SAN)\cap (SBD)=SK$
giả sử :

$MN\cap SK=J\Rightarrow MN\cap (SBD)=J$
Gọi

$I$ là trung điểm của

$OB$ ta có:

$NI//OC\Rightarrow \begin{cases} NI\bot BD\\NI\bot SO\end{cases} \Rightarrow NI\bot (SBD)$
suy ra

$IJ$ là hình chiếu vuông góc của

$MN$ trên

$(SBD)$ do đó

$(MN,(SBD))=\widehat{NIJ}$
Trong

$\Delta OBC$ có

$NI$ là đường trung bình nên :

$NI=\frac{1}{2} OC=\frac{a\sqrt{2} }{4}$
Trong

$\Delta ABC$ có trung tuyến

$AN,BO$ nên

$K$ là trọng tâm suy ra :

$\frac{KA}{KN}=2$
Dựa vào hình theo định lí mêlêlaus ta có :

$\frac{KA}{KN}.\frac{JN}{JM}.\frac{SM}{SA}=1\Leftrightarrow 2.\frac{JN}{JM}.\frac{1}{2} =1$

$\Leftrightarrow \frac{JN}{JM}=1\Leftrightarrow JN=\frac{1}{2}MN=\frac{a\sqrt{10} }{4}$
Trong

$\Delta NIJ$ vuông tại

$I$ ta có :

$sin\widehat{ABC} NIJ=\frac{NI}{JN}=\frac{\sqrt{5} }{5}$
Vậy ta được

$sin(MN,(SBD))=\frac{\sqrt{5} }{5}$

Bài 109875

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109875

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan