Bài 109803

Question

Cho $\Delta ABC$. Tìm tập hợp những điểm $M$ thỏa mãn:
$\overrightarrow {MA}.\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {MB}.\overrightarrow {MC}+\overrightarrow {MC}.\overrightarrow {MA}=0$ (1)

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/23/2012 3:04:49 PM

Giả sử $A(x_{A};y_{A}),B(x_{B};y_{B}),C(x_{C};y_{C})$.Khi đó ta cần tìm tập hợp những điểm $M(x,y)$ thỏa mãn (1)
Từ (1) ta được:
$0=(x_{A}-x;y_{A}-y).(x_{B}-x;y_{B}-y)+(x_{B}-x;y_{B}-y).(x_{C}-x;y_{C}-y)$
$+(x_{C}-x;y_{C}-y).(x_{A}-x;y_{A}-y)$
$=(x_{A}-x).(x_{B}-x)+(y_{A}-y).(y_{B}-y)+(x_{B}-x).(x_{C}-x)+(y_{B}-y).(y_{C}-y)$
$+(x_{C}-x).(x_{A}-x)+(y_{C}-y).(y_{A}-y)$
$=3(x^{2}+y^{2})-2x(x_{A}+x_{B}+x_{C})-2x(y_{A}+y_{B}+y_{C})$
$+x_{A}.x_{B}+x_{B}.x_{C}+x_{C}.x_{A}+y_{A}.y_{B}+y_{B}.y_{C}+y_{C}.y_{A}$
$\Leftrightarrow (x-\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3})^{2}+(y-\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3})^{2}=$
$=\frac{1}{18}([(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}]+[(x_{B}-x_{C})^{2}+(y_{B}-y_{C})^{2}]+[(x_{C}-x_{A})^{2}+(y_{C}-y_{A})^{2}])$
$\Leftrightarrow MG^{2}=\frac{1}{18}(AB^{2}+BC^{2}+CA^{2})$
$\Leftrightarrow M$ thuộc đường tròn tâm $G$ (là trọng tâm $\Delta ABC$) và $R=\frac{\sqrt{AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}}}{3\sqrt{2}}$

Bài 109803

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109803

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan