Bài 109775

Question

Cho hai điểm $A,B$ trên trục $x'Ox$ có tọa độ là $a,b$. Gọi $m,n$ là hai số thực sao cho $m+n \neq 0$.
a) Tìm tọa độ điểm $I$ sao cho $m \overrightarrow{IA}+n \overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0} $.
b) Chứng minh rằng $m \overrightarrow{OA}+n \overrightarrow{OB}-(m+n)\overline{OI}^2=m\overline{IA}^2+n \overline{IB}^2=\frac{mn}{m+n}\overline{AB}^2. $

score 0 · Answer 1

a) Ta có: $m \overrightarrow{IA}+n \overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}   \Rightarrow    \overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{IB} $ cùng phương.
$\Rightarrow    I \in x'Ox   \Rightarrow    m \overline{IA}+n \overline{IB}=0    \Leftrightarrow    m(x_A-x_I)+n(x_B-x_I)=0$
$\Leftrightarrow     (m+n)x_I=ma+nb    \Leftrightarrow      x_I=\frac{ma+nb}{m+n} $.

b) * Ta có:
$m \overline{OA}^2+n \overline{OB}^2-(m+n)\overline{OI}^2=m(\overline{OI}^2+\overline{IA})^2+n(\overline{OI}+\overline{IB})^2-(m+n)\overline{OI}^2 $
$=m\overline{OI}^2+m\overline{IA}^2+2m\overline{OI}.\overline{IA}+n\overline{OI}^2+2n\overline{OI}.\overline{IB}+n \overline{IB}^2-(m+n)\overline{OI}^2$
$=mIA^2+nIB^2+2\overline{OI}(m.\overline{IA}+n.\overline{IB})=m \overline{IA}^2+n \overline{IB}^2 (A)$ (vì $m.\overline{IA}+n.\overline{IB}=0 ) $.
* Ta lại có:
$m\overline{OA}^2+n \overline{OB}^2-(m+n)\overline{OI}^2=ma^2+nb^2-(m+n)(\frac{ma+nb}{m+n})^2 $
$=\frac{1}{m+n}(m^2a^2+mna^2+mnb^2+n^2b^2-m^2a^2-n^2b^2-2mnab) $
$=\frac{mn}{m+n}(a^2+b^2-2ab)=\frac{mn}{m+n}(b-a)^2=\frac{mn}{m+n}(\overline{AB}^2)                (B)$
Từ $(A),(B)$ ta có:
$m\overline{OA}^2+ n \overline{OB}^2-(m+n)\overline{OI}^2=m\overline{IA}^2+n\overline{IB}^2=\frac{mn}{m+n}\overline{AB}^2. $

Bài 109775

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109775

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan