Bài 109747

Question

Một lớp học có

$30$ học sinh. Thầy giáo chọn ra một nhóm học sinh và một học sinh trong nhóm làm nhóm trưởng (số học sinh trong nhóm lớn hơn 1 và nhỏ hơn 30). Gọi S là số cách chọn . Chứng minh

$S=60(2^{28}-1)$

score 0 · Answer 1

Số cách chọn một nhóm gồm k học sinh trong sô

$30$ học sinh là

$C^k_{30} (1<k<30)$
Với mỗi nhóm có k cách chọn một học sinh làm nhóm trưởng . Do đó số cách chọn một nhóm gồm k và chọn một học sinh làm nhóm trưởng là

$kC^k_{30}$
Vậy số cách chọn một nhóm học sinh và một học sinh trong nhóm làm nhóm trưởng là:

$S=2C^2_{30}+3C^3_{30}+...+29CC^{29}_{30}$
Ta có:

$kC^k_{30}=k.\frac{30!}{k!(30-k)!}=\frac{30!}{(k-1)!(30-k)!}=30.\frac{29!}{(k-1)!(29-(k-1))!}=30C^{k-1}_{29}$
Suy ra:

$S=30(C^1_{29}+C^2_{29}+...+C^{28}_{29})=30(2^{29}-C^0_{29}-C^{29}_{29})=60(2^{28}-1)$

Bài 109747

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109747

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan