Bài 109736

Question

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, tâm $O,SA=a$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.Gọi $I,M$ theo thứ tự là trung điểm của $SC,AB$
$a.$ Chứng minh rằng $OI\bot (ABCD)$
$b.$ Tính khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $CM$ từ đó suy ra khoảng cách từ $S$ tới $CM$

score 0 · Answer 1

$a.$ Trong $\Delta SAC$ ta có :
$OI$ là đường trung bình
$\Rightarrow OI//SA\Rightarrow OI\bot (ABCD)$
$b.$ Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $CM$ ta có :
$\begin{cases} CM\bot HI\\CM\bot OI\end{cases} \Rightarrow CM\bot (IOH)\Rightarrow CM\bot OH$
Trong $\Delta ABC$ có $K$ là trọng tâm, ta có :
$OB=\frac{1}{2} AC=\frac{a\sqrt{2} }{2} $
$OK=\frac{1}{3} OB=\frac{a\sqrt{2} }{6} $
Trong $\Delta OCK$ vuông tại $O$ ta có:
$\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OK^2}+\frac{1}{OC^2} =\frac{1}{(\frac{a\sqrt{2} }{6} )^2} +\frac{1}{(\frac{a\sqrt{2} }{2} )^2} =\frac{20}{a^2} $
$\Rightarrow OH=\frac{a}{\sqrt{20} } $
Trong $\Delta OIH$ vuông tại $O$ ta có :
$IH^2=OI^2+OH^2=(\frac{a}{2} )^2+(\frac{a}{\sqrt{20} } )^2=\frac{3a^2}{10} \Rightarrow IH=\frac{a\sqrt{30} }{10} $
Vậy khoảng cách từ $I$ tới $CM$ bằng $\frac{a\sqrt{30} }{10} $
Vì $SI\cap CM=C$ nên :
$\frac{d(S,CM)}{d(I,CM)}=\frac{SC}{IC} =2\Rightarrow d(S,CM)=2d(I,CM)=2IH=\frac{a\sqrt{30} }{5} $

Bài 109736

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109736

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan