Bài 109620

Question

Cho ba điểm

$A,B,C$ tùy ý thuộc trục

$x'x$ và

$I$ là trung điểm của đoạn

$BC$ . Chứng minh rằng:
a)

$\overline{AB}+\overline{AC}=2 \overline{AI}$ b)

$\overline{AB}.\overline{AC}=\overline{AI}^2-BI^2$
c)

$\overline{AB}^2+\overline{AC}^2=2(AI^2+BI^2)$ d)

$\overline{AB}^2-\overline{AC}^2=2\overline{BC}.\overline{IA}.$

score 0 · Answer 1

a) Ta có:

$\overline{AB}=\overline{AI}+\overline{IB}; \overline{AC}=\overline{AI}+\overline{IC}$

$\Rightarrow \overline{AB}+\overline{AC}=2\overline{AI}+(\overline{IB}+\overline{IC})$
Vì

$I$ là trung điểm của

$BC$ nên ta có:

$\overline{IB}+\overline{IC}=0$
Vậy

$\overline{AB}+\overline{AC}=2 \overline{AI}$ .

b) Ta có:

$\overline{AB}.\overline{AC}=(\overline{AI}+\overline{IB})(\overline{AI}+\overline{IC})=(\overline{AI}+\overline{IB})(\overline{AI}-\overline{IB})=\overline{AI}^2-\overline{IB}^2$
Vậy:

$\overline{AB}.\overline{AC}=\overline{AI}^2-BI^2$ .

c) Ta có:

$\overline{AB}^2=(\overline{AI}^2+\overline{IB})^2=\overline{AI}^2+\overline{IB}^2+2\overline{AI}.\overline{IB}$

$\overline{AC}^2=(\overline{AI}^2-\overline{IB})^2=\overline{AI}^2+\overline{IB}^2-2\overline{AI}.\overline{IB}$
Suy ra:

$\overline{AB}^2+\overline{AC}^2=2(\overline{AI}^2+\overline{IB}^2)$

d) Ta có:

$\overline{AB}^2-\overline{AC}^2=(\overline{AB}+\overline{AC})(\overline{AB}-\overline{AC})=\left[ {(\overline{AI}+\overline{IB})+(\overline{AI}+\overline{IC})} \right]\overline{CB}$

$=2 \overline{AI}.\overline{CB}$ (vì

$\overline{IB}+\overline{IC}=0$ )
Vậy:

$\overline{AB^2}-\overline{AC}^2=2 \overline{BC}.\overline{IA}$ .

Bài 109620

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109620

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan