$1.$ Vì $M$ chia đoạn $AB$ theo tỉ số $k=-\frac{1}{2} $
$\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}=k \overrightarrow{MB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}=-\frac{1}{2}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB} )=-\frac{1}{2}\overrightarrow{MA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} $
$\Leftrightarrow 3 \overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{AB} \Rightarrow |\overrightarrow{MA} |=|-\frac{\overrightarrow{AB} }{3} |=\frac{3}{3}=1 $
Và $\overrightarrow{MA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \overrightarrow{MB}=-2 \overrightarrow{MA} \Rightarrow |\overrightarrow{MB} |=2|\overrightarrow{MA} |=2.$
$2.$ Theo giả thiết câu $1.: \overrightarrow{MA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{MB} \Rightarrow \frac{\overline{MA}}{\overline{MB}}=-\frac{1}{2} (a)$
Theo giả thiết câu $2: \overrightarrow{NA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{NB} \Rightarrow \frac{\overline{NA}}{\overline{NB}}=\frac{1}{2} (b)$
Từ $(a),(b)$ ta có: $\Rightarrow \frac{\overline{MA}}{\overline{MB}} =-\frac{\overline{NA}}{\overline{NB}} \Leftrightarrow \overline{MA}.\overline{NB}+\overline{NA}.\overline{MB}=0$ (đpcm)
Nhân $(a),(b)$ vế theo vế ta có:
$\frac{\overline{MA} }{\overline{MB}}.\frac{\overline{NA}}{\overline{NB}}=-\frac{1}{4} \Leftrightarrow 4 \overline{MA}.\overline{NA}+\overline{MB}.\overline{NB}=0$. (đpcm)