Bài 109605

Question

Cho đường tròn $(C):(x-1)^2+(y+1)^2=10$. Lập phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến tạo với $(\Delta ):2x+y-4=0$ một góc bằng $45^0$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/26/2012 3:42:18 PM

Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;-1)$ và bán kính $R=\sqrt{10} $
Gọi $k_1, k_2$ lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến $(d)$ và đường thẳng $(\Delta )$, ta có: $k_2=-2$
Theo giả thiết: $\tan {45^0} = \left| {\frac{{{k_1} - {k_2}}}{{1 + {k_1}{k_2}}}} \right| \Leftrightarrow \left| {\frac{{ - {k_1} - 2}}{{1 - 2{k_1}}}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{k_1} = 3\\
{k_1} = - \frac{1}{3}
\end{array} \right.$
Xét các trường hợp:

a. Với $k_1=3$, ta được:
$(d_1):y=3x+m\Leftrightarrow (d_1):3x-y+m=0         (1)$
Đường thẳng $(d_1)$ là tiếp tuyến của đường tròn $(C)$
$\Leftrightarrow d(I, (d_1))=R\Leftrightarrow \frac{|3+1+m|}{\sqrt{9+1} }=\sqrt{10} \Leftrightarrow |m+4|=10\Leftrightarrow   $$\left[ \begin{array}{l}
{m_1} = 6\\
{m_2} = - 14
\end{array} \right.$
- Với $m_1=6$ thay vào $(1)$ được tiếp tuyến $(d_{1.1}):3x-y+6=0$
- Với $m_2=-14$ thay vào $(1)$ được tiếp tuyến $(d_{1.2}):3x-y-14=0$

b. Với $k_2=-\frac{1}{3} $ ta được $(d_2):y=-\frac{1}{3}x+n\Leftrightarrow (d_2):x+3y-3n=0          (2) $
Đường thẳng $(d_2)$ là tiếp tuyến của đường tròn $(C)$
$\Leftrightarrow d(I, (d_2))=R\Leftrightarrow \frac{|1-3-3m|}{\sqrt{1+9} }=\sqrt{10} \Leftrightarrow |3n+2|=10\Leftrightarrow   $$\left[ \begin{array}{l}
{n_1} = -4\\
{n_2} = \frac{8}{3}
\end{array} \right.$
- Với $n_1=-4$ thay vào $(2)$ được tiếp tuyến $(d_{2.1}):x+3y+12=0$
- Với $n_2=\frac{8}{3} $ thay vào $(2)$ được tiếp tuyến $(d_{2.2}):x+3y-8=0$
Vậy, tồn tại bốn tiếp tuyến $(d_{1.1}), (d_{1.2}), (d_{2.1}), (d_{2.2})$ tới $(C)$ thỏa mãn điều kiện đề bài

Bài 109605

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109605

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan