Bài 109597

Question

Cho bốn điểm

$A,B,C,D$ bất kì.
a) Chứng minh:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BD}=0$
b) Suy ra rằng

$3$ đường cao của một tam giác bất kỳ, đồng quy tại một điểm gọi là trực tâm.

score 0 · Answer 1

a) Ta có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC} )= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} -\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} (1)$

$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} )\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} (2)$

$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD} )=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} (3)$
Cộng

$(1),(2),(3)$ vế với vế ta có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BD}=0 (4)$

b) Chứng minh ba đường cao đồng quy

Giả sử

$AD,CD$ là hai đường cao của

$\Delta ABC$ (

$D$ là điểm trực tâm)
Thì ta có:

$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}=0 (5)$

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0 (6)$
Thế

$(5),(6)$ vào

$(4)$ ta có:

$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BD}=0$
Suy ra:

$\overrightarrow{BD} \bot \overrightarrow{CA} \Leftrightarrow BD \bot CA$ hay

$BD$ là đường cao thứ

$3$ .
Nói cách khác đường cao vẽ từ

$B$ đi qua

$D$ .
Nên

$3$ đường cao của một tam giác

$ABC$ đồng quy tại

$D$ .

Bài 109597

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109597

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan