Bài 109597

Question

Cho bốn điểm $A,B,C,D$ bất kì.
a) Chứng minh: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BD}=0 $
b) Suy ra rằng $3$ đường cao của một tam giác bất kỳ, đồng quy tại một điểm gọi là trực tâm.

score 0 · Answer 1

a) Ta có:
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC} )=
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} -\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}                            (1)$
$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} )\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}               (2)$
$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD} )=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}          (3)$
Cộng $(1),(2),(3)$ vế với vế ta có:
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BD}=0                (4)$

b) Chứng minh ba đường cao đồng quy

Giả sử $AD,CD$ là hai đường cao của $\Delta ABC$    ($D$ là điểm trực tâm)
Thì ta có:
$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}=0          (5)$
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0                  (6)$
Thế $(5),(6)$ vào $(4)$ ta có: $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BD}=0 $
Suy ra:   $\overrightarrow{BD} \bot \overrightarrow{CA}     \Leftrightarrow      BD \bot CA$ hay $BD$ là đường cao thứ $3$.
Nói cách khác đường cao vẽ từ $B$ đi qua $D$.
Nên $3$ đường cao của một tam giác $ABC$ đồng quy tại $D$.

Bài 109597

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109597

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan