Bài 109466

Question

Cho hai điểm $A,B$ và $M$ là điểm bất kỳ. Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên $AB$ và $I$ là trung điểm của $AB$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MI^2-\frac{AB^2}{4} $
b) $MA^2+MB^2=2MI^2+\frac{AB^2}{2} $
c) $MA^2-MB^2=2 \overline{AB}.\overline{IH}$

score 0 · Answer 1

a) Ta có: $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} ).(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} )=MI^2-IA^2 $
Vậy: $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MI^2-\frac{AB^2}{4} $.

b) $MA^2+MB^2=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} )^2+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} )^2=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} )^2+(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA} )^2$
$=MI^2+IA^2+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}+MI^2+IA^2-2 \overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA} $
$=2MI^2+2IA^2=2MI^2+\frac{AB^2}{2} $

c) Ta có $MA^2-MB^2=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2-(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA} )^2 $
$=4 \overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}=2 \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB}=2\overline{AB}.\overline{IH}$
(vì $\overrightarrow{IH} $ là hình chiếu của $\overrightarrow{IM} $ lên $AB$).

Bài 109466

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109466

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan