Gọi $O$ là trung điểm của $AB$. Ta có: $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OB} $
Áp dụng quy tắc ba điểm và tính chất tích vô hướng ta có:
$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM} )(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM} )=-(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OM})(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM} ) $
$=-(OB^2-OM^2)=OM^2-OA^2$.
Mà $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=k. $
Vậy $OM^2-OA^2=k \Leftrightarrow OM^2=k + \frac{AB^2}{4} (k>0)$
Vậy $M$ luôn cách $O$ cố định một khoảng không đổi là:
$OM=\sqrt{k+\frac{AB^2}{4} } $.