Bài 109588

Question

Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$. Tìm tập hợp những điểm $M$ sao cho:
a) $2MB^2-MC^2=a^2$
b) $MA^2+MB^2+MC^2=4a^2$
c) $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}=a^2 $

score 0 · Answer 1

a) Gọi $I$ là điểm xác định bới:
$2 \overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}      \Leftrightarrow      2 \overrightarrow{IB}-(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BC} )=\overrightarrow{0} $
$\Leftrightarrow    \overrightarrow{IB}=\overrightarrow{BC} $
$\Leftrightarrow    I$ là điểm đối xứng của $C$ qua $B$
Ta có: $a^2=2 MB^2-MC^2=2(\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IM} )^2-(\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IM} )^2$
$=2 (IB^2+IM^2-2 \overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IM} )-(\overrightarrow{IC}^2+IM^2-2 \overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IM}   )$
$=2 IB^2-IC^2+IM^2-2 \overrightarrow{IM}(2 \overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} ) $
$=2IB^2-IC^2+IM^2$      vì $ (2 \overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} =0)$
$\Leftrightarrow    IM^2=a^2+IC^2-2 \overrightarrow{IB}     \Leftrightarrow      IM^2=a^2+(2a)^2-2a^2=3a^2$
$\Leftrightarrow    IM=a \sqrt{3} $
Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I$, bán kính $R=a \sqrt{3} $.

b) Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Ta có:
$MA^2+MB^2+MC^2=(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA} )^2+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB} )^2+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC} )^2$
$=3 MG^2+GA^2+GB^2+GC^2$
Thay: $GA=GB=GC=\frac{2}{3}\frac{a \sqrt{3} }{2}=\frac{a \sqrt{3} }{3}   $.Ta có:
$MA^2+MB^2+MC^2=3 MG^2+a^2            (1)$
Do đó: $MA^2+MB^2+MC^2=4a^2     \Leftrightarrow     3 MG^2+a^2=4a^2$
$\Leftrightarrow     3 MG^2=3a^2      \Leftrightarrow     MG=a$
Vậy tập hợp những điểm $M$ là đường tròn tâm $G$, bán kính $a$.

c) Ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA} )+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB} )+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC} )=3 \overrightarrow{MG}    $
$\Rightarrow    (\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}   )^2=9MG^2$
$\Rightarrow    MA^2+MB^2+MC^2+2(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} )=9MG^2      (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có:
$a^2=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}=\frac{1}{2}(6MG^2-a^2)       $
Vậy   $\frac{1}{2}(6MG^2-a^2)=a^2     \Leftrightarrow     GM=\frac{a \sqrt{2} }{2} $
Vậy tập hợp những điểm $M$ là đường tròn tâm $G$ bán kính $R=\frac{a \sqrt{2} }{2}. $

Bài 109588

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109588

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan