Gọi $I$ là điểm thỏa hệ thức: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0} $
$(1) \Leftrightarrow (\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} )^2+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} )^2+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} )^2+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ID} )^2=k$
$\Leftrightarrow 4MI^2+2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID} )+IA^2+IB^2+IC^2+ID^2=k $
$\Leftrightarrow 4MI^2=k-(IA^2+IB^2+IC^2+ID^2)$
- Nếu $k>IA^2+IB^2+IC^2+ID^2$ thì:
$MI=\frac{1}{2} \sqrt{k-(IA^2+IB^2+IC^2+ID^2)} $
Tập hợp $M$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $\frac{1}{2} \sqrt{k-(IA^2+IB^2+IC^2+ID^2)} $
- Nếu $k=IA^2+IB^2+IC^2+ID^2 \Leftrightarrow MI^2=0 \Leftrightarrow MI=0 \Leftrightarrow M \equiv I$
Tập hợp điểm $M$ là điểm $I$.
- Nếu $k<IA^2+IB^2+IC^2+ID^2$ thì tập hợp các điểm $M$ là tập rỗng ($\varnothing$).