Gọi $C$ là điểm thỏa mãn hệ thức: $\overrightarrow{CA}+2 \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0} (1) \Rightarrow C$ cố định.
Ta có: $MA^2+2 MB^2=k$
$\Leftrightarrow (\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA})^2+2(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB})^2=k$
$\Leftrightarrow 3 \overrightarrow{MC}^2+2 \overrightarrow{MC}(\overrightarrow{CA}+2 \overrightarrow{CB} )+CA^2+ 2 CB^2=k $
$\Leftrightarrow 3MC^2=k-(CA^2+2 CB^2)$
$\Leftrightarrow MC^2=\frac{1}{3}(k-6 \overrightarrow{CB^2} )=\frac{1}{3}(k-\frac{2a^2}{3} ) $
Nên ta có:
- Nếu $k>\frac{2a^2}{3}: $ Tập hợp các điểm $M$ là đường tròn tâm $C$ bán kính
$R=\frac{1}{3} \sqrt{3k-2a^2} $
- Nếu $k=\frac{2a^2}{3}: $ Tập hợp các điểm $M$ chính là điểm $C$.
- Nếu $0< k< \frac{2a^2}{3}: $ Tập hợp các điểm $M$ là tập rỗng ($\varnothing $).