Bài 109570

Question

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Tìm tập hợp các điểm $M$ sao cho:
a) $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD}=a^2                           (1)$
b) $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}=5a^2   (2)$
c) $MA^2+MB^2+MC^2=3 MD^2                   (3)$
d) $(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB} )=3a^2     (4)$
e) $2MA^2+\overrightarrow{MB^2}=MC^2+MD^2                    (5)$

score 0 · Answer 1

a)

Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$
$(1)     \Leftrightarrow     a^2=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA} )(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC} )+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB} )(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD} )$
$\Leftrightarrow       a^2=MO^2-AO^2+MO^2-BO^2$   (vì $\overrightarrow{OA} =-\overrightarrow{OC} , \overrightarrow{OB} =-\overrightarrow{OD} $)
$\Leftrightarrow       a^2= 2MO^2-a^2$
$\Leftrightarrow       OM=a$
Vậy tập hợp các điểm $M$ là đường tròn tâm $O$ bán kính bằng $a$.

b) $(2)   \Leftrightarrow      5a^2=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA} )(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB} )+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC} )(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD} )$
               $\Leftrightarrow    5a^2=2 MO^2     \Leftrightarrow     |\overrightarrow{MO} |=\frac{1}{2}a \sqrt{10} $
Vậy tập hợp các điểm $M$ là đường tròn tâm $O$ bán kính   $\frac{1}{2}a \sqrt{10} $.

c) $(3)   \Leftrightarrow     \overrightarrow{MO}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-3 \overrightarrow{OD}    )=0 $
$\Leftrightarrow     -4 \overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OD}=0     \Leftrightarrow      OM \bot OD$
$\Leftrightarrow $   Tập hợp các điểm $M$ là đường thẳng qua $O$ và vuông góc với $OD$.

d) Gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$. Ta có:
$(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}   )(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB} )=3a^2     \Leftrightarrow      \overrightarrow{MG}.\overrightarrow{BC}=a^2 $
$\Leftrightarrow      (\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QG} )\overrightarrow{BC}=a^2     \Leftrightarrow       \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QG}.\overrightarrow{BC}=a^2    $
$\Leftrightarrow     \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{MQ}=a^2-\overrightarrow{QG}.\overrightarrow{BC}       (*)$
Chọn $Q$ thỏa $\overrightarrow{QG}=\overrightarrow{BC} $ thì $(*)      \Leftrightarrow     \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{MQ}=0    \Leftrightarrow     MQ \bot BC$
Vậy tập hợp các điểm $M$ là đường thẳng qua $Q$ và vuông góc với $BC$.

e) Chọn $E$ thỏa:   $2 \overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}-\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{0}    \Leftrightarrow      \overrightarrow{EA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}    $
$\Leftrightarrow    \overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{CB} $
Ta có:   $2 \overline{MA}^2+\overline{MB}^2-MC^2-MD^2=0$
$\Leftrightarrow     EM^2+2 EA^2+EB^2-EC^2-ED^2=0$
$\Leftrightarrow     EM^2=EC^2+ED^2-2 EA^2-EB^2=6a^2     \Leftrightarrow     EM=a \sqrt{6}. $

Bài 109570

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109570

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan