Bài 109570

Question

Cho hình vuông

$ABCD$ cạnh

$a$ . Tìm tập hợp các điểm

$M$ sao cho:
a)

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD}=a^2 (1)$
b)

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}=5a^2 (2)$
c)

$MA^2+MB^2+MC^2=3 MD^2 (3)$
d)

$(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB} )=3a^2 (4)$
e)

$2MA^2+\overrightarrow{MB^2}=MC^2+MD^2 (5)$

score 0 · Answer 1

a)

Gọi

$O$ là tâm của hình vuông

$ABCD$

$(1) \Leftrightarrow a^2=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA} )(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC} )+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB} )(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD} )$

$\Leftrightarrow a^2=MO^2-AO^2+MO^2-BO^2$ (vì

$\overrightarrow{OA} =-\overrightarrow{OC} , \overrightarrow{OB} =-\overrightarrow{OD}$ )

$\Leftrightarrow a^2= 2MO^2-a^2$

$\Leftrightarrow OM=a$
Vậy tập hợp các điểm

$M$ là đường tròn tâm

$O$ bán kính bằng

$a$ .

b)

$(2) \Leftrightarrow 5a^2=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA} )(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB} )+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC} )(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD} )$

$\Leftrightarrow 5a^2=2 MO^2 \Leftrightarrow |\overrightarrow{MO} |=\frac{1}{2}a \sqrt{10}$
Vậy tập hợp các điểm

$M$ là đường tròn tâm

$O$ bán kính

$\frac{1}{2}a \sqrt{10}$ .

c)

$(3) \Leftrightarrow \overrightarrow{MO}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-3 \overrightarrow{OD} )=0$

$\Leftrightarrow -4 \overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OD}=0 \Leftrightarrow OM \bot OD$

$\Leftrightarrow$ Tập hợp các điểm

$M$ là đường thẳng qua

$O$ và vuông góc với

$OD$ .

d) Gọi

$G$ là trọng tâm của

$\Delta ABC$ . Ta có:

$(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} )(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB} )=3a^2 \Leftrightarrow \overrightarrow{MG}.\overrightarrow{BC}=a^2$

$\Leftrightarrow (\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QG} )\overrightarrow{BC}=a^2 \Leftrightarrow \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QG}.\overrightarrow{BC}=a^2$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{MQ}=a^2-\overrightarrow{QG}.\overrightarrow{BC} (*)$
Chọn

$Q$ thỏa

$\overrightarrow{QG}=\overrightarrow{BC}$ thì

$(*) \Leftrightarrow \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{MQ}=0 \Leftrightarrow MQ \bot BC$
Vậy tập hợp các điểm

$M$ là đường thẳng qua

$Q$ và vuông góc với

$BC$ .

e) Chọn

$E$ thỏa:

$2 \overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}-\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{EA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{CB}$
Ta có:

$2 \overline{MA}^2+\overline{MB}^2-MC^2-MD^2=0$

$\Leftrightarrow EM^2+2 EA^2+EB^2-EC^2-ED^2=0$

$\Leftrightarrow EM^2=EC^2+ED^2-2 EA^2-EB^2=6a^2 \Leftrightarrow EM=a \sqrt{6}.$

Bài 109570

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109570

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan