Bài 109551

Question

Cho $5$ điểm $A(0;-1),B(2;3),C(\frac{1}{2};0),E(1;6),F(-3;-4)$.
a.Chứng minh rằng $A,B,C$ thẳng hàng.Tìm điểm $D$ sao cho bốn điểm $A,B,C,D$ lập thành hàng điểm điều hòa.
b.Tìm điểm $M$ trên $AB$ sao cho vectơ $\overrightarrow {EM}+\overrightarrow {FM}$ có độ dài nhỏ nhất.

score 0 · Answer 1

a.Ta có:
$\overrightarrow {CA}(-\frac{1}{2};-1),\overrightarrow {CB}(\frac{3}{2};3)\Rightarrow \overrightarrow {CB}=-3.\overrightarrow {CA}$
$\Leftrightarrow A,B,C$ thẳng hàng.
Giả sử $D(x;y)$,khi đó bốn điểm $A,B,C,D$ lập thành hàng điểm điều hòa.
$\Leftrightarrow \frac{\overrightarrow {DA}}{\overrightarrow {DB}}=-\frac{\overrightarrow {CA}}{\overrightarrow {CB}}$
$\Leftrightarrow \frac{\overrightarrow {DA}}{\overrightarrow {DB}}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow \overrightarrow {DB}=3.\overrightarrow {DA}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} 2-x=3(-x) \\ 3-y=3(-1-y)\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=-1 \\ y=-3\end{cases} \Leftrightarrow D(-1;-3)$
b.Ta có:
*$M(x;y) \in AB$
$\Leftrightarrow \overrightarrow {AM}// \overrightarrow {AB}\Leftrightarrow \frac{x}{2}=\frac{y+1}{4}\Leftrightarrow y=2x-1 \Rightarrow M(x;2x-1)$
*Gọi $I$ là trung điểm $EF$,ta có $I(-1;1)$
Khi đó:
$\overrightarrow {EM}+\overrightarrow {FM}=2.\overrightarrow {IM}\Rightarrow |\overrightarrow {EM}+\overrightarrow {FM}|=2|\overrightarrow {IM}|$
Suy ra $\overrightarrow {EM}+\overrightarrow {FM}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow 2|\overrightarrow {IM}|$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow IM$ nhỏ nhất.
Ta có:
$IM^{2}=(x+1)^{2}+(2x-1-1)^{2}=5x^{2}-6x+5=5(x^2-2.\frac{3}{5}x+\frac{9}{25})+\frac{16}{5}\\=5(x-\frac{3}{5})^2+\frac{16}{5}\geq \frac{16}{5}\Leftrightarrow min IM= \frac{4}{5}. Dấu "=" khi x=\frac{3}{5}.$
Vậy Min $IM^{2}= \frac{4}{5}$,đạt được khi $x= \frac{3}{5} \Rightarrow M(\frac{3}{5};\frac{1}{5})$

Bài 109551

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109551

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan