Bài 109525

Question

Cho $\Delta ABC$ với đường tròn ngaoị tiếp của nó có tâm $O$. Gọi $H$ là điểm xác định bởi $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} $.
a) Tính $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC} $. Suy ra $H $ là trực tâm của tam giác.
b) Tìm hệ thức giữa độ dài ba cạnh của $\Delta ABC$ là $a,b,c$ sao cho $OH \bot AM$ ($M$ là trung điểm của $BC$).

score 0 · Answer 1

a) Ta có: O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên: $ \overrightarrow{OA^2} = \overrightarrow{OB^2} = \overrightarrow{OC^2}  $.
Do đó:
$\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA} )(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} )\\ =(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}   )(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} )=\overrightarrow{OC^2}-\overrightarrow{OB^2}=0    $
Vậy $AH \bot BC$.
Tương tự có: $BH \bot CA$.
Vậy   $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$.
b) Do M là trung điểm BC nên ta có $  \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}( \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}) $, nên:
$\overrightarrow{OH} \bot \overrightarrow{AM}     \Leftrightarrow     \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{AM}=0      \Leftrightarrow     (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}   )(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} )=0$
$\Leftrightarrow    (3 \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}   )(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} )=0$
$\Leftrightarrow    3 \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AB}+3 \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AC}+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} )^2=0    $
$\Leftrightarrow    AB^2+AC^2+2 \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=3(\frac{1}{2} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\overrightarrow{AC}      ) $
$\Leftrightarrow    c^2+b^2+2 \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{3}{2}(c^2+b^2)    \Leftrightarrow     4 \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=c^2+b^2 $
$\Leftrightarrow    2(AB^2+AC^2-(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} )^2)=c^2+b^2$
$\Leftrightarrow    2(c^2+b^2-a^2)=c^2+b^2     $
$\Leftrightarrow    b^2+c^2=2a^2.$

Bài 109525

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109525

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan