Bài 109478

Question

Cho $\Delta ABC$ cân tại đỉnh $A$. Gọi $H$ là trung điểm của $BC$, $D$ là hình chiếu của $H$ lên $AC$, $M$ là trung điểm của $HD$. Chứng minh rằng $AM \bot DB.$

score 0 · Answer 1

Ta chứng minh: $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{DB}=0 $
Ta có: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HD}=\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{HD}     $
          $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AD} ) $
(Vì $M$ là trung điểm của $HD$)
Do đó: $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AD} )(\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{HD} )   $
$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{HD} ) $
Mà: $\begin{cases}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HC}=0     (do AH \bot BC)   \\ \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{HD}=0        (do AC \bot HD)\end{cases} $
Do đó: $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{HC}    )=\frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HD}+(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HD} ).\overrightarrow{HC}   } \right]    $
$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{HD}.\overrightarrow{HC}    ) $    vì $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HC}=0 $
$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{HD}(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HC} )=\frac{1}{2}\overrightarrow{HD}.\overrightarrow{AC}=0 $      (vì $AC \bot HD)$
Vậy      $AM \bot DB$.

Bài 109478

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109478

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan