Bài 109474

Question

Cho hình chữ nhật $ABCD$. $M$ là một điểm bất kỳ. Chứng minh rằng:
a) $MA^2+MC^2=MB^2+MD^2$
b)   $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD}    $
c) $MA^2+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD}=2 \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MO}   (O $ là tâm hình chữ nhật)

score 0 · Answer 1

a) Ta có: $MA^2+MC^2=\frac{1}{2}\left[ {(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC} )^2+(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC} )^2} \right] =\frac{1}{2}(CA^2+4MO^2) $      (*)
Tương tự ta có: $MB^2+MD^2=\frac{1}{2}(BD^2+4MO^2) $                                    (**)
Vì $AC=BD$. Từ (*) và (**)    suy ra đpcm.

b) Ta có:     $4 \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC} )^2-(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC} )^2=4MO^2-AC^2 $
Tương tự:   $4 \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD}=4MO^2-BD^2=4MO^2-AC^2$
Vậy:            $4 \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}=4 \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD}     \Rightarrow       \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD}    $

c) Ta có: $MA^2+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD}=MA^2+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC} )=2 \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MO}       $.

Bài 109474

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109474

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan