Bài 109473

Question

Cho $\Delta ABC,I$ là điểm xác định bởi: $2 \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}    $
a) Hãy xác định $I$'
b) $M$ là điểm tùy ý. Hãy chứng minh: $2MA^2+MB^2-MC^2=2MI^2+2IA^2+IB^2-IC^2$
Suy ra vị trí của $M$ để   :   $2 MA^2+MB^2-MC^2$ nhỏ nhất.
c) Tính    $2IA^2+IB^2-IC^2$ trong trường hợp $\Delta ABC$   đều và có độ dài cạnh bằng $a$

score 0 · Answer 1

a) Ta có: $\overrightarrow{0}=2 \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=2 \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{CB}    \Rightarrow     \overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}     $
Vậy $I$ nằm trên đường thẳng $\Delta $ qua $A, \parallel CB, \overrightarrow{AI}=\frac{1}{2} \overrightarrow{CB} $

b) Ta có:   $VT=2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} )^2+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} )^2-(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} )^2$
$=2MI^2+2IA^2+IB^2-IC^2+2\overrightarrow{MI}.(2 \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} ) $
$=2MI^2+2IA^2+IB^2-IC^2=VP$
Vậy ta đã chứng minh:
$2MA^2+MB^2-MC^2=2MI^2+2IA^2+IB^2-IC^2$
Ta có: $2MI^2+2IA^2+IB^2-IC^2 \geq 2IA^2+IB^2-IC^2$
Vậy $VT$ nhỏ nhất   $\Leftrightarrow     \overrightarrow{IM}=\overrightarrow{0}     \Leftrightarrow      M \equiv I$

c) Nếu $\Delta ABC$ đều và có cạnh dài bằng $a$.
$\Rightarrow     IA=\frac{a}{2} $
$IB=AH=\frac{a \sqrt{3} }{2} $
$IC=\sqrt{BC^2+IB^2}=\frac{a \sqrt{7} }{2} $
Vậy:   $2IA^2+IB^2-IC^2=2.\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}-\frac{7a^2}{4}=-\frac{a^2}{2}.    $

Bài 109473

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109473

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan