Bài 109470

Question

Cho $\Delta ABC$ có $a=4, b=3,c=2$.Cho $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$.
a) Tính tổng $\overrightarrow{GA}. \overrightarrow{GB}+ \overrightarrow{GB}. \overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GC} .\overrightarrow{GA} $;
b) $AD$ là phân giác trong của góc $\widehat{BAC} (D \in BC) $. TÍnh $\overrightarrow{AD} $ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} $

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a) Gọi $M, E$ lần lượt là trung điểm của $BC, AC$.
Ta có: $\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MA}.\frac{2}{3}\overrightarrow{EB}=\frac{1}{9}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA} )(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB} )   $
                                  $=\frac{1}{9}(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CB}-BA^2+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AB} ) $
$\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}=\frac{1}{9}(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}-BA^2 )   $
Tương tự:   $\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GC}=\frac{1}{9}(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}-CB^2   )   $
                   $\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA}=\frac{1}{9}(\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}-CA^2   )   $
Vậy:   $\overrightarrow{GA}. \overrightarrow{GB}+ \overrightarrow{GB}. \overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GC} .\overrightarrow{GA} =$
$= \frac{1}{9}(-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}-BA^2-AC^2-CB^2 ) $
$=\frac{1}{18}(-3AB^2-3BC^2-3CA^2)=-\frac{1}{6} (AB^2+BC^2+CA^2)=-\frac{29}{6}. $

b) Ta có: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}     \Rightarrow     3 \overrightarrow{DB}+2 \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}   $
$\Rightarrow       3 \overrightarrow{AB}+2 \overrightarrow{AC}=5 \overrightarrow{AD}   $
$\Rightarrow       \overrightarrow{AD}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}     $
$\Rightarrow       \overrightarrow{AD}^2=\frac{9}{25}AB^2+\frac{4}{25}AC^2+\frac{12}{25}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{54}{25}       $
$\Rightarrow       AD=\frac{\sqrt{54} }{5} $.

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