Bài 109462

Question

Cho hình thang vuông $ABCD$. Đường cao $AB=2a$. Cạnh đáy $AD=a, BC=3a.$
a) Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BD} $. Suy ra $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} $
b) Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$ có hình chiếu là $I', J'$ lên $AC$. Tính $I'J'$

Gọi M là điểm trên AC và vecto AM=kAC. TÍnh BM vuông góc CD

score 0 · Answer 1

a) Ta áp dụng định lý hình chiếu với $\overrightarrow{BA}$ là vectơ hình chiều của $\overrightarrow{BD} $ lên $AB$.
Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}=\overline{AB}.\overline{BA}=-AB^2=-4a^2 $
- Tương tự, gọi $D'$ là hình chiếu của $D$ lên $BC$, thì $BD'$ là hình chiếu của $\overrightarrow{BD} $ lên $BC$.
Vậy $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BD}=\overline{BC}.\overline{BD'}=3a.a=3a^2 $   (vì $BD'=AD=a, \overrightarrow{BD'}$ và $\overrightarrow{BC} $ cùng hướng)
- Tính $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} $
Ta có: $ \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} ).\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BD}=-4a^2+3a^2=-a^2.$

b) Tính $I'J'$
Trước hết ta tính $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{IJ} $
Gọi $C'$ là hình chiếu cuả $C$ lên $IJ$. Ta có $IJ$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$. Do đó:
$IJ=\frac{AD+BC}{2}=\frac{a+3a}{2}=2a $   và   $\left.\begin{matrix}IJ\parallel AD \\AB \bot AD \end{matrix}\right\}    \Leftrightarrow    AB \bot IJ$
Suy ra $\overrightarrow{IC'} $ là hình chiếu của $\overrightarrow{AC}   $   lên $IJ$ và $\overrightarrow{IC'}=BC=3a $. Do đó:
$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{IJ}=\overline{IC'}.\overline{IJ}=3a.2a=6a^2          (1)$
Ta lại có: $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{IJ}=\overline{AC}.\overline{I'J'}          (2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra: $\overline{AC}.\overline{I'J'}=6a^2    \Rightarrow       I'J'=\frac{6a^2}{AC} $
Mà: $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(2a)^2+(3a)^2}=a \sqrt{13}   $
Nên      $I'J'=\frac{6a^2}{a \sqrt{13} }=\frac{6a \sqrt{13} }{13} . $

Bài 109462

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109462

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan