Bài 109459

Question

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình thang có đáy lớn $BC=2a,AD=a,AB=b$. Mặt bên $SAD$ là tam giác đều. $(\alpha)$ là mặt phẳng qua điểm $M$ trên cạnh $AB$ và song song với $SA,SC,(\alpha)$ cắt $CD,SC,SB$ lần lượt tại $N,P,Q$
$a.$ Chứng minh $MNPQ$ là hình thang cân
$b.$ Tính diện tích thiết diện theo $a,b$ và $x=AM,()<x<b)$. Tính giá trị lớn nhất của diện tích thết diện $MNPQ$.

score 0 · Answer 1

$a.$ Ta lần lượt có :
$\begin{cases}SA//\alpha \\SA\subset (SAB)\\MQ\in (SAB)\cap \alpha \end{cases} \Rightarrow MQ//SA$
$\begin{cases} BC//\alpha\\MN\in (ABCD)\cap \alpha \\PQ\in (SBC)\cap \alpha\end{cases} \Rightarrow MN//PQ//BC$
Nhận xét rằng :
$\frac{MQ}{SA}=\frac{BM}{BA}=\frac{BQ}{BS}=\frac{CN}{CD}=\frac{CP}{CS}=\frac{NP}{SD}\Rightarrow MQ=NP      $
$MQ//SA, NP//SD, SAD$ là $\Delta$ đều nên MQ và NP không song song
Từ đó suy rathiết diện $MNPQ$ là hình thang cân

$b.$ Giả sử $AB$ cắt $CD$ tại $I$ ta có :
$AD=\frac{1}{2} BC\Rightarrow AD$ là đường trùn bình của $\Delta IBC$
Do đó : $IA=IB=b$ và :
$\frac{MN}{BC}=\frac{IM}{IB} =\frac{IA+AM}{IA+AB}=\frac{b+x}{2b}\Rightarrow MN=\frac{a(b+x)}{b}   $
Trong $\Delta SBC$ ta có :
$\frac{PQ}{BC}=\frac{SQ}{SB} =\frac{AM}{AB} =\frac{x}{b} \Rightarrow PQ=\frac{2ax}{b} $
Trong $\Delta SAB$ ta có :
$\frac{MQ}{SA}=\frac{BM}{AB}=\frac{b-x}{b}   \Rightarrow MQ=\frac{a(b-x)}{b} $
Xét hình thang cân $MNPQ$, hạ đường cao $QH$ ta có :
$QH=\sqrt{MQ^2-MH^2}=\sqrt{MQ^2-(\frac{MN-PQ}{2} )^2} =\frac{\sqrt{3} a(b-x)}{2b} $
$S_{MNPQ}=\frac{1}{2} (MN+PQ).QH=\frac{1}{2} [\frac{a(b+x)}{b}+\frac{2ax}{b} ].\frac{\sqrt{3} a(b-x)}{2b} $
$=\frac{\sqrt{3} a^2}{4b^2} .(b+3x)(b-x)$
Ta biến đổi :
$S_{MNPQ}=\frac{\sqrt{3} a^2}{4b^2} .[\frac{4b^2}{3}-(x\sqrt{3}-\frac{b}{\sqrt{3} } )^2 ]\leq \frac{\sqrt{3} a^2}{4b^2}.\frac{4b^2}{3} =\frac{a^2}{\sqrt{3} } $
Vậy $(S_{MNPQ})_{Max}=\frac{a^2}{\sqrt{3} } $ đạt được khi :
$x\sqrt{3}-\frac{b}{\sqrt{3} } =0\Leftrightarrow x=\frac{b}{3} $

Bài 109459

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109459

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan