Bài 109432

Question

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$. Điểm $M$ trong $\Delta ABC$ có hình chiếu xuống $BC,CA,AB$ là $D,E,F$.
a) Tìm tập hợp điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF} $ cùng phương với $\overrightarrow{BC} $.
b) Tìm tập hợp điểm $M$ sao cho $|\overrightarrow{v} |=|\overrightarrow{MA} |$

score 0 · Answer 1

a)

Ta có: $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MA}$
Gọi $I$ là điểm giữa của $AD    \Rightarrow     \overrightarrow{v}=2 \overrightarrow{MI} $
Mà $\overrightarrow{v} $ cùng phương với $\overrightarrow{BC} $ (giả thiết)   $\Leftrightarrow    MI\parallel BC$
$\Leftrightarrow     M$ nằm trên đường trung bình ($\parallel BC$) của $\Delta ABC$
$\Leftrightarrow     M$ thuộc đoạn $PN (P,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$)

b)

$M'$ là điểm trên đường cao $AH$ sao cho $AM'=MD$
$\Leftrightarrow    AMDM'$   là hình bình hành.
$\Rightarrow      |\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF} |=|\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MA} |=|\overrightarrow{MM'} |$
Vậy $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}   |=|\overrightarrow{MA} |$
$\Leftrightarrow    |\overrightarrow{MM'} |=|\overrightarrow{MA} |=|\overrightarrow{M'D} |$
$\Leftrightarrow    M'$ thuộc đường trung trực của $MD$
$\Leftrightarrow    M'H=\frac{1}{2}MD =\frac{1}{2}M'A $
$\Leftrightarrow    MD=\frac{2}{3}AH $
Vậy $M$ nằm trên đường thẳng song song với $BC$, cách $BC$ một khoảng bằng $\frac{2}{3} AH$, nhưng trừ những điểm nằm ngoài $\Delta ABC$.

Bài 109432

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109432

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan