Bài 109403

Question

Cho đường thẳng $(d):x-y=0, (C):x^2+y^2-x-3y-2=0$
a. Chứng tỏ rằng $(d)$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $E, F$. Tìm tọa độ trung điểm $H$ của $EF$
b. Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với $(d)$ tại $H$ và tiếp xúc với $(C)$
c. Lập phương trình đường tròn có bán kính bằng $\sqrt{2} $ tiếp xúc với $(d)$ và tiếp xúc ngoài với $(C)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/22/2012 3:56:22 PM

Đường tròn $(C)$ có tâm $I(\frac{1}{2};\frac{3}{2} )$ và bán kính $R=\frac{3}{\sqrt{2} } $
a. Xét hệ phương trình tạo bởi $(d)$ và $(C)$:
$\left\{ \begin{array}{l} x-y=0\\ x^2+y^2-x-3y-2=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x=y=1 \pm \sqrt{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} E(1+\sqrt{2};1+\sqrt{2} )\\ F(1-\sqrt{2};-\sqrt{2} ) \end{array} \right. $
$\Rightarrow $ Trung điểm $H(1;1)$

b. Từ hình vẽ ta thấy có hai đường tròn tiếp xúc với $(d)$ tại $H$ và tiếp xúc với $(C)$ theo thứ tự $A, B$ với $A, B\in (C)$ và $AB \bot (d)$
Gọi $d_1$ là đường thẳng qua $H$ và vuông góc với $(d)$, ta có:
$(d_1)\bot (d)\Rightarrow (d_1):x+y+C=0$
$H\in (d_1)\Rightarrow 1+1+C=0\Leftrightarrow C=-2$
Từ đó ta được $(d_1):x+y-2=0$
Khi đó, tọa độ của $A, B$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l} x+y-2=0\\ x^2+y^2-x-3y-2=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=2-x\\ x^2+(2-x)^2-x-3(2-x)-2=0 \end{array} \right. $
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=2-x\\ x^2-x-2=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=2-x\\ x=-1 hoặc x=2 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A(-1;3)\\ B(2;0) \end{array} \right. $

Ta lần lượt xét:
- Đường tròn đường kính $AH$ được cho bởi:
$(C_1):\left\{ \begin{array}{l} Tâm I_1 là trung điểm AH\\ bán kính R_1=\frac{AH}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow (C_1):\left\{ \begin{array}{l} Tâm I_1(0;2)\\ bán kính R_1=\sqrt{2} \end{array} \right. $
$\Leftrightarrow (C_1):x^2+(y-2)^2=2$
- Đường tròn đường kính $BH$ được cho bởi:
$(C_1):\left\{ \begin{array}{l} Tâm I_2 là trung điểm BH\\ bán kính R_2=\frac{BH}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow (C_2):\left\{ \begin{array}{l} Tâm I_2(\frac{3}{2} ;\frac{1}{2} )\\ bán kính R_2=\frac{\sqrt{2} }{2} \end{array} \right. $
$\Leftrightarrow (C_2):(x-\frac{3}{2} )^2+(y-\frac{1}{2} )^2=\frac{1}{2} $
Vậy tồn tại hai đường tròn $(C_1), (C_2)$ thỏa mãn

c. Đường tròn $(S)$ có tâm $T(a;b)$ và bán kính bằng $R'=\sqrt{2} $ cần tìm có phương trình: $(S):(x-a)^2+(x-b)^2=2$
Ta lần lượt xét:
- $(S)$ tiếp xúc ngoài với $(C)$ khi và chỉ khi: $IT=R+R'$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {b - \frac{3}{2}} \right)}^2}} = \frac{3}{{\sqrt 2 }} + \sqrt 2 = \frac{5}{{\sqrt 2 }}\\
\Leftrightarrow {(2a - 1)^2} + {(2b - 3)^2} = 50 (*)
\end{array}$
- $(S)$ tiếp xúc với $(d)$ khi và chỉ khi:
$d(T, (d))=R'\Leftrightarrow \frac{|a-b|}{\sqrt{1+(-1)^2} }=\sqrt{2} \Leftrightarrow |a-b|=2\Leftrightarrow $$\left[ \begin{array}{l}
a = b + 2\\
a = b - 2
\end{array} \right.$
Ta lần lượt xét:
- Với $a=b+2$ thì phương trình $(*)$ có dạng:
$(2b+3)^2+(2b-3)^2=50\Leftrightarrow 8b^2=32$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
b = 2 \Rightarrow a = 4\\
b = - 2 \Rightarrow a = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
({S_1}):{(x - 4)^2} + {(y - 2)^2} = 2\\
({S_2}):{x^2} + {(y + 2)^2} = 2
\end{array} \right.$
- Với $a-b-2$ thì phương trình $(*) $ có dạng:
$(2b-5)^2+(2b-3)^2=50\Leftrightarrow b^2-8b-4=0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
b = 4 + \sqrt {20} \Rightarrow a = 2 + \sqrt {20} \\
b = 4 - \sqrt {20} \Rightarrow a = 2 - \sqrt {20}
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
({S_3}):{(x - 2 - \sqrt {20} )^2} + {(y - 4 - \sqrt {20} )^2} = 2\\
({S_4}):{(x - 2 + \sqrt {20} )^2} + {(y - 4 + \sqrt {20} )^2} = 2
\end{array} \right.$
Vậy tồn tại bốn đường tròn $(S_1), (S_2), (S_3), (S_4)$ thỏa mãn điều kiện đề bài

Bài 109403

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109403

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan