Bài 109293

Question

Cho $\Delta ABC$, gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $I,J$ là hai điểm xác định bởi: $\overrightarrow{AI}=\alpha \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AJ}=\beta \overrightarrow{AC} $
Tìm hệ thức giữa $\alpha, \beta$ để $AM$ cắt $IJ$ tại trung điểm của $AM$.

score 0 · Answer 1

Vì: $\left[ {\begin{matrix} \alpha=0 \\ \beta=0 \end{matrix}} \right.$ không thỏa mãn điều kiện của giả thiết.
Do đó: $\alpha \neq 0, \beta \neq 0$. Ta có:
$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} ) $ vì $M$ là trung điểm của $BC$.
$=\frac{1}{2}(\frac{1}{\alpha}\overrightarrow{AI}+\frac{1}{\beta}\overrightarrow{AJ} )=\frac{1}{2\alpha}\overrightarrow{AI}+\frac{1}{2\beta}\overrightarrow{AJ}     $
Gọi $AM$ sẽ cắt $IJ$ tại $K$, ta sẽ chứng minh $\overrightarrow{AM}=\left (\frac{1}{2\alpha} +\frac{1}{2\beta}\right )\overrightarrow{AK}   $
Thật vậy, kẻ $BE, CF \parallel IJ, E, F \in AM$. Dễ thấy $BE=CF$.
Theo định lý Ta-lét :
$\begin{cases}\alpha=\frac{AI}{AB}=\frac{IK}{BE}\Rightarrow \frac{1}{\alpha}\overrightarrow{KI}=\overrightarrow{EB} \\ \beta=\frac{AJ}{AC}=\frac{KJ}{FC}\Rightarrow \frac{1}{\beta}\overrightarrow{KJ}= \overrightarrow{FC}\\ \overrightarrow{EB} +\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{0}\end{cases}$
$\Rightarrow \frac{1}{2\alpha}\overrightarrow{KI}+ \frac{1}{2\beta}\overrightarrow{KJ}=\overrightarrow{0}$
$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2\alpha}\overrightarrow{AI}+\frac{1}{2\beta}\overrightarrow{AJ} =\left (\frac{1}{2\alpha} +\frac{1}{2\beta}\right )\overrightarrow{AK}$

Vậy $K$ là trung điểm của $AM$ thì $ \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AK}\Leftrightarrow \frac{1}{2\alpha} +\frac{1}{2\beta}=2    \Leftrightarrow     \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=4 $   là hệ thức cần tìm.

Bài 109293

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109293

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan