Bài 109285

Question

Cho $\Delta ABC$, $M$ là điểm lưu động. Dựng vec-tơ $\overrightarrow{MN}=2 \overrightarrow{MA}+3 \overrightarrow{MB}- \overrightarrow{MC} $
a) Chứng minh $MN$ đi qua một điểm cố định khi $M$ thay đổi.
b) Gọi $P$ là trung điểm của $CN$. Chứng minh rằng $MP$ đi qua một điểm cố định khi $M$ thay đổi.

score 0 · Answer 1

a) Gọi $I$ là điểm xác định bởi: $2 \overrightarrow{IA}+3 \overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}    $
$\Leftrightarrow     2 \overrightarrow{IA}+3(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB} )-(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC} )=\overrightarrow{0}     \Leftrightarrow      4 \overrightarrow{AI}=3 \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}   $
$\Rightarrow     I$ cố định.
Ta chứng minh $MN$ qua $I$.
Ta có: $\overrightarrow{MN}=2 \overrightarrow{MA}+3 \overrightarrow{MB}- \overrightarrow{MC}=2 (\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})+3 (\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} )-(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} )    $
$\overrightarrow{MN}=4 \overrightarrow{MI}+2 \overrightarrow{IA}+3 \overrightarrow{IB}- \overrightarrow{IC}= 4 \overrightarrow{MI}      $ (do $2 \overrightarrow{IA}+3 \overrightarrow{IB}- \overrightarrow{IC}=0$)
Vậy $M,I,N$ thẳng hàng, hay $MN$ đi qua điểm cố định $I$ khi $M$ thay đổi.

b) Vì $P$ là trung điểm của $CN$ nên ta có:
$\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MC} ) $ (quy tắc hình bình hành)
$=\frac{1}{2}(2 \overrightarrow{MA}+3 \overrightarrow{MB} ) $   (theo câu a)
Gọi $J$ là điểm xác định bởi $2 \overrightarrow{JA}+3 \overrightarrow{JB}=\overrightarrow{0}   $
$\Leftrightarrow    2(\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{CA} )+3(\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{CB} )=\overrightarrow{0}      \Leftrightarrow      5 \overrightarrow{JC}=-2 \overrightarrow{CA}-3 \overrightarrow{CB}   $
$\Leftrightarrow    5 \overrightarrow{CJ}=2 \overrightarrow{CA}+3 \overrightarrow{CB}   $ không đổi   $\Rightarrow   J$ cố định.
Ta chứng minh $MP$ qua $J$ cố định:
Ta có: $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}(2 \overrightarrow{MA}+3 \overrightarrow{MB} )=\frac{1}{2} (2(\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JA} )+3(\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JB} ))   $
$=\frac{1}{2}(2+3)\overrightarrow{MJ}+\frac{1}{2}(2 \overrightarrow{JA}+3 \overrightarrow{JB} )=\frac{1}{2}(2+3)\overrightarrow{MJ}     $   (vì   $2 \overrightarrow{JA}+3 \overrightarrow{JB}=\overrightarrow{0} $)
Vậy $\overrightarrow{MP}=\frac{5}{2}\overrightarrow{MJ}      \Rightarrow      M,P,J$ thẳng hàng hay $MP$ đi qua điểm $J$ cố định.

Bài 109285

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109285

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan