Bài 109239

Question

Cho tam giác $ABC$, $M$ là điểm định bởi $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BC}-2 \overrightarrow{AB} ,N$ là điểm định bởi: $\overrightarrow{CN}=x\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC} $
a) Xác định $x$ để $A,M,N$ thẳng hàng.
b) Xác định $x$ để $MN$ qua điểm giữa $I$ của $BC$. Tính tỉ số $\frac{IM}{IN}$

score 0 · Answer 1

a) Ta có:
$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BC}-2 \overrightarrow{AB}    \Leftrightarrow    2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{0}         (1)$
$\overrightarrow{CN}= x \overrightarrow{AC}- \overrightarrow{BC}      \Rightarrow     x \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CN}-\overrightarrow{CB} =\overrightarrow{0}          (2)$
Từ $(1)   \Rightarrow    2 \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BM}=(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC} )-(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM} )   $
$\Rightarrow     2 \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}    \Leftrightarrow     \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}-2 \overrightarrow{AB}           (3)$
Từ $(2)   \Rightarrow    x \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CN}-\overrightarrow{CB}=(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN} )-(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB} )   $
                           $x \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}      \Rightarrow      \overrightarrow{AN}= x \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}          (4)$
Từ $(3),(4)$    và $A,M,N$ thẳng hàng   $\Leftrightarrow     \overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AN} $ cùng phương
$\Rightarrow      \overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AN} $ chọn $k=-2$ thì $\overrightarrow{AM}=-2 \overrightarrow{AN} $
$\Rightarrow      \overrightarrow{AM}+2 \overrightarrow{AN}=0     \Leftrightarrow      (\overrightarrow{AC}-2 \overrightarrow{AB} )+2(x \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AB} )=0$
$\Leftrightarrow    (2x+1)\overrightarrow{AC}=0      \Leftrightarrow       2x+1=0         \Leftrightarrow       x=-\frac{1}{2} $
Vậy khi $x=-\frac{1}{2} $ thì $A,M,N$ thẳng hàng.

b) Ta có:
Từ $(1)    \Rightarrow      2(\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IA})+(\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC})-(\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IM})=\overrightarrow{0} $
                  $\Rightarrow     2 \overrightarrow{IB}=2 \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IM}     \Rightarrow      \overrightarrow{IM}=2 \overrightarrow{IA}+3 \overrightarrow{IC} $
Từ $(2)    \Rightarrow     x(\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{IA})+(\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{IN} )-(\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{IB} )=\overrightarrow{0} $
                $\Rightarrow    x \overrightarrow{IC}=x \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IN}-\overrightarrow{IB}      \Rightarrow      \overrightarrow{IN}=-x \overrightarrow{IA}+(x-1)\overrightarrow{IC}   $
Để $M,N,I$ thẳng hàng   $\Leftrightarrow   \overrightarrow{IM}, \overrightarrow{IN} $ cùng phương
$\Leftrightarrow     \overrightarrow{IM}=k\overrightarrow{IN}     \Leftrightarrow      2(x-1)+3x=0     \Leftrightarrow     x=\frac{2}{5} $    (chọn $k=-5$)
Vậy khi $x=\frac{2}{5} $ ta có:
$\overrightarrow{IM}=2 \overrightarrow{IA}+3 \overrightarrow{IC}; \overrightarrow{IN}=-\frac{2}{5}\overrightarrow{IA}-\frac{3}{5}\overrightarrow{IC} $
$\Rightarrow      \overrightarrow{IM}=-5 \overrightarrow{IN}      \Leftrightarrow     \frac{IM}{IN}=-5. $

Bài 109239

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109239

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan