Bài 109221

Question

Cho $\Delta ABC$. Gọi $K$ là điểm sao cho $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0} $
$1$. Chứng minh $K$ là trọng tâm của tam giác $ABC$;
$2$. Gọi $H$ là trực tâm và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, $AO$ cắt đường tròn tại $D$. Chứng minh $BHCD$ là hình bình hành.
$3$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $\overrightarrow{AH}=2 \overrightarrow{OI}. $
$4$. Chứng minh: $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2 \overrightarrow{HO}; \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}; O, K, H$ thẳng hàng.

score 0 · Answer 1

$1$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Ta có:
$\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}    \Rightarrow    (\overrightarrow{KG}+\overrightarrow{GA} )+(\overrightarrow{KG}+\overrightarrow{GB} )+(\overrightarrow{KG}+\overrightarrow{GC} )=\overrightarrow{0} $
$\Rightarrow     3 \overrightarrow{KG}+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}   )=\overrightarrow{0} $
$\Rightarrow     3 \overrightarrow{KG}=\overrightarrow{0} $   vì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}    $
$\Rightarrow     \overrightarrow{KG}=\overrightarrow{0}     \Leftrightarrow       K\equiv G$
Vậy $K$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

$2$.Ta có: $HC\parallel BD$ (cùng $\bot AB$);   $BH\parallel DC$ (cùng $\bot AC$)
$\Rightarrow     BHCD$ là hình bình hành.

$3$. Vì $BHCD$ là hình bình hành nên $I$ là trung điểm của $HD$, $O$ là trung điểm của đường kính $AD$.
Xét $\Delta AHD$ có $OI$ là đường trung bình nên ta có:
$AH=2OI     \Rightarrow      \overrightarrow{AH}=2 \overrightarrow{OI} $

$4$.a) CM: $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2 \overrightarrow{HO}$
Ta có: $\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HD}   $   (quy tắc hình bình hành)
$= \overrightarrow{HO}+\overrightarrow{OD} $   (quy tắc ba điểm)
Và:   $\overrightarrow{HA}=\overrightarrow{HO}+\overrightarrow{OA}   $
Suy ra: $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HO}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{HO}+\overrightarrow{OA}=2 \overrightarrow{HO}+(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD} )$
Vậy : $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2 \overrightarrow{HO}      (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0})$.
b) CM: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$
Ta có: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=(\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HA})+(\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HB})+(\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HC} ) $
$= 3\overrightarrow{OH}+(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}   )= 3 \overrightarrow{OH}+2 \overrightarrow{HO}   $   (do câu $4$ a))
Vậy: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$
c) CM: $O,H,K$ thẳng hàng
Theo ($4$b) ta có: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$
Suy ra: $(\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KA} )+(\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KB})+(\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KC})=\overrightarrow{OH} $
$\Rightarrow     3 \overrightarrow{OK}+(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}   )=\overrightarrow{OH}      \Rightarrow      \overrightarrow{OH}=3 \overrightarrow{OK}$ vì $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}    $
Vậy ba điểm $O,H, K$ thẳng hàng.

Bài 109221

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109221

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan