Bài 109215

Question

Tính các giới hạn:
a)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)...(1+nx)-1}{x}$
b)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\frac{(1-\sqrt[]{x})(1-\sqrt[3]{x} )...(1-\sqrt[n]{x} ) }{(1-x)^{n-1}}$
c)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{\sqrt[n]{1+P(x)}-1 }{x}$ , trong đó

$P(x)$ là đa thức

$a_1x+a_2x^2+...+a_n.x^n$
d)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{\sqrt[]{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{\sin ^2 x}$
e)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to -\sqrt[]{3} }\frac{x^3+3\sqrt[]{3} }{3-x^2}$

score 1 · Answer 1

a) Ta chứng minh bằng quy nạp công thức:

$\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)...(1+nx)-1}{x} = 1+2(1+x)+3(1+x)(1+2x)+...$

$...+ n(1+x)(1+2x)...(1+(n-1)x) (1)$
- Với

$n=2$ ,

$(1)$ đúng.
- Giả sử

$(1)$ đúng với

$n$ , ta có:

$\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)...(1+(n+1)x)-1}{x} \\= [1+2(1+x)+...+ n(1+x)(1+2x)...(1+(n-1)x)][1+(n+1)x]\\=1+2(1+x)+...+ (n+1)(1+x)(1+2x)...(1+nx)$
Nên

$(1)$ cũng đúng với

$n+1$ , vậy

$(1)$ đúng với mọi

$n$
Suy ra ĐS:

$1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

b) Đặt

$1-x=y$ và

$A$ là giới hạn cần tìm.

$A=\mathop {\lim }\limits_{y\to 0}\frac{1-\sqrt[]{1-y} }{y} .\mathop {\lim }\limits_{y \to 0}\frac{1-\sqrt[3]{1-y} }{y} ... \mathop {\lim }\limits_{y \to 0}\frac{1-\sqrt[n]{1-y} }{y}$
Ta có

$\mathop {\lim }\limits_{y \to 0}\frac{1-\sqrt[k]{1-y} }{y}=\frac{1}{k} \forall k=1,2,...,n.$ Do đó

$A=\frac{1}{n!}$

c)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{1+P(x)}-1 }{x}=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{\sqrt[n]{1+P(x)}-1}{P(x)}.\frac{P(x)}{x}$
Đặt

$P(x)=y: \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{1+y}-1 }{y}. \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (a_1+a_2x+...+a_nx^{n-1})=\frac{a_1}{n}$

d) Đặt

$\cos x =t^6$ , ta có:

$\mathop {\lim }\limits_ {x \to 0}\frac{\sqrt[]{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x} }{\sin ^2 x}=\mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{t^3-t^2}{1-t^{12}}=-\mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{1-t}{1-t^12}$

$=-\mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{1-t}{(1-t)(1+t+...+t^{11})} =-\frac{1}{12}$

e)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to -\sqrt[]{3} }\frac{x^3+3\sqrt[]{3} }{3-x^2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to -\sqrt[]{3} }\frac{(x+\sqrt[]{3} )(x^2-x\sqrt[]{3}+3 )}{(\sqrt[]{3}+x )(\sqrt[]{3}-x )} =\frac{3\sqrt[]{3} }{2}$

Bài 109215

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109215

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan