1. Giới hạn của hàm số tại một điểm
a) Giới hạn hữu hạn
Định nghĩa 1: Giả sử $\left( {a;b} \right)$ là một khoảng chứa điểm ${x_0}$ và $f$ là một hàm số xác định trên tập hợp $\left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$. Ta nói rằng hàm số $f$có giới hạn là số thực L khi x dần tiến đến ${x_0}$ (hoặc tại điểm ${x_0}$) nếu với mọi dãy số (${x_n}$) trong tập hợp $\left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$( tức là ${x_n} \in \left( {a,b} \right)$và ${x_n} \ne {x_0}$ với mọi n) mà $\lim {x_n} = {x_0}$, ta đều có $\lim f({x_n}) = L$.
Khi đó ta viết
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$ hoặc $f(x) \to L$ khi $x \to {x_0}$
Ví dụ: Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x\cos \frac{1}{x}} \right)$
Giải: Xét hàm số $f(x) = x\cos \frac{1}{x}.$Với mọi dãy số $({x_n})$ mà ${x_n} \ne 0$ với mọi n và $\lim {x_n} = 0$
Ta có: $f({x_n}) = {x_n}c{\text{os}}\frac{1}{{{x_n}}}$ vì: $\left| {f({x_n})} \right| = \left| {{x_n}} \right|\left| {c{\text{os}}\frac{1}{{{x_n}}}} \right| \leqslant \left| {{x_n}} \right|,\lim \left| {{x_n}} \right| = 0$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x\cos \frac{1}{x}} \right) = 0$
NHẬN XÉT: Áp dụng định nghĩa 1, dễ dàng chứng minh được rằng
a) Nếu $f(x) = c$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, trong đó c là một hằng số, thì với mọi ${x_0} \in \mathbb{R}$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c$
b) Nếu $g(x) = x$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì với mọi ${x_0} \in \mathbb{R}$,
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0}$
b) Giới hạn vô cực
Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm được định nghĩa tương tự như giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm.
Ví dụ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = + \infty $ có nghĩa là với mọi dãy $\left( {{x_n}} \right)$ trong tập hợp $\left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$ mà $\lim {x_n} = {x_0}$, ta đều có $\mathop {\lim }\limits_{} f({x_n}) = + \infty $.
2. Giới hạn của hàm số tại vô cực
ĐỊNH NGHĨA 2:
Giả sử hàm số f được xác định trên khoảng $\left( {a; + \infty } \right)$. Ta nói rằng hàm số $f$ có giới hạn là số thực L khi x dần đến $ + \infty $ nếu với mọi dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ trong khoảng $\left( {a; + \infty } \right)$ (tức là ${x_n} > a$ với mọi $n$) mà $\lim {x_n} = + \infty $, ta đều có: $\operatorname{l} {\text{imf}}({x_n}) = L$
Khi đó ta viết: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = L$ hoặc $f\left( x \right) \to L$ khi $x \to + \infty $
Các giới hạn
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty $ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \infty $ $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = L$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty $ được định nghĩa tương tự.
Ví dụ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{x} = 0$ vì với mọi dãy số âm $\left( {{x_n}} \right)$ mà $\lim {x_n} = - \infty $, ta đều có $\lim \frac{1}{{{x_n}}} = 0$
Nhận xét:
Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, có thể chứng minh được rằng:
Với mọi số nguyên dương $k$, ta có:
$a)\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty $ $b)\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\text{x}}^k} = \left\{ {_{ - \infty \,\,(k = 2n + 1)}^{ + \infty \,\,(k = 2n)}} \right.$
$c)\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{x^k}}} = 0$ $d)\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{{x^k}}} = 0$
3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1:
Giả sử $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\,$và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\,\left( {L,M \in \mathbb{R}} \right)$. Khi đó
$\begin{gathered}
a)\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M; \\
b)\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M; \\
c)\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = LM; \\
\end{gathered} $
Đặc biệt, nếu $c$ là một hằng số thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {cf\left( x \right)} \right] = cL;$
d) Nếu $M \ne 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M}$
KL: Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số tại một điểm bằng tổng, hiệu, tích, thương các giới hạn của chúng tại điểm đó (trong trường hợp thương, giới hạn của mẫu phải khác không).
Nhận xét: Nếu k là một số nguyên dương và $a$là một hằng số thì với mọi ${x_0} \in \mathbb{R}$, ta có
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\text{a}}{x^k} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} a.\underbrace {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x.\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x...\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x}_{k\,\,lan} = a{\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x} \right)^k} = {\text{a}}x_0^k$
Ví dụ: Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^3} - 5{x^2} + 7} \right)$
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^3} - 5{x^2} + 7} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^3} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {5{x^2}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 7 = \,{2^3} - {5.2^2} + 7\, = \, - 5$
Định lý 2: Giả sử $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L$, khi đó
$\begin{gathered}
a)\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| L \right|; \\
b)\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt[3]{{f\left( x \right)}} = \sqrt[3]{L}; \\
\end{gathered} $
c) Nếu $f\left( x \right) \geqslant 0$ với mọi $x \in J\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$, trong đó J là một khoảng nào đó chứa ${x_0}$ thì $L \geqslant 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L $.
Ví dụ: Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {\frac{{2{x^4} - {x^3} + x}}{{{x^4} + 2{x^2} - 7}}} $
Giải: Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2{x^4} - {x^3} + x}}{{{x^4} + 2{x^2} - 7}} = 2$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {\frac{{2{x^4} - {x^3} + x}}{{{x^4} + 2{x^2} - 7}}} = \sqrt 2 $