Bài 109212

Question

Tìm các giới hạn:
a) $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty}(\sqrt[]{2}. \sqrt[4]{2}. \sqrt[8]{2}... \sqrt[2n]{2}) $ b) $\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty} \frac{1.3.5.7... (2n-1)}{2.4.6...2n} $
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty}\frac{3x^2-2x}{4x^2+5} $ d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty}\frac{3x-1-x^3}{2+x^2} $

score 0 · Answer 1

a) $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty}2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}} =2^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty}\left (\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}\right )} $
Vì $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty}\left (\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n} \right ) =\frac{\frac{1}{2} }{1-\frac{1}{2} } =1$.
S: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty}2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}

+...+\frac{1}{2^n}}   =2 $

b) $\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{2n-1}{2n} \leq \frac{1}{\sqrt[]{3n+1} }     (1)$
Ta chứng minh $(1)$ bằng quy nạp:
Với $n=1 (1)$ đúng.
Giả sử $(1)$ đúng với $n=k$, ta chứng minh $(1)$ đúng với $n=k+1$. Tức là:
                          $\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}... \frac{2k-1}{2k}.\frac{2k+1}{2k+2} \leq \frac{1}{\sqrt[]{3k+4} }
(*) $
         $(*)\Leftrightarrow (2k+1)^2 (3k+4) \leq (3k+1)(2k+2)^2 \Leftrightarrow   k>1$. Vậy (*) đúng.
Từ đó theo nguyên lí quy nạp, suy ra $(1)$ đúng.
Do đó               $0 \leq \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left ( \frac{1}{2}.\frac{3}{4}. \frac{5}{6}... \frac{2k-1}{2n}

\right) \leq \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[]{3n+1} } =0 $
ĐS: $0$

c)     $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} \frac{3x^2-2x}{4x^2+5 } = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} \frac{3-\frac{2}{x}}{4+\frac{5}{x^2} } = \frac{3}{4} $

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} \frac{3x-1-x^3}{2+x^2 } = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty} \frac{-x+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x^2} } = -\infty $

Đặt v_n=\frac{2.4....2n}{3.5....(2n 1)}ta có u_nv_n=\frac{1}{2n 1}do \frac{n}{n 1}\geq \frac{n-1}{n} nên u_n\leq v_n, do đó u_n\leq \sqrt{\frac{1}{2n 1}}từ đây suy ra giới hạn là 0.

Bài 109212

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109212

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan