Bài 109129

Question

Cho hình bình hành $ABCD$, $M$ và $N$ là hai điểm lần lượt trên đoạn $AB$ và $CD$ sao cho $\frac{AM}{AB}=\frac{1}{3} $ và $\frac{CN}{CD}= \frac{1}{2}. $
a) Tính $\overrightarrow{AN} $ theo $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}. $
b) Gọi $G$là trọng tâm của tam giác $MNB$, tính $\overrightarrow{AG} $ theo $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}. $
c) Gọi $I$ là điểm định bởi $\overrightarrow{BI}=k \overrightarrow{BC} $. Tính $\overrightarrow{AI} $ theo $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} $ và $k$. Tìm $k$ để $AI$ đi qua $G$.

score 0 · Answer 1

a) Ta có: $2 \overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}   $ (vì $N$ là trung điểm của $DC$)
$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}   $
$\Rightarrow     2 \overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=2 \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}      $
$\Rightarrow     \overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}    $

b) Ta có: $3 \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN} $ (vì $G$ là trọng tâm $\Delta BMN$)
$= \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AN}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}                   (*)$
$\Rightarrow     3 \overrightarrow{AG}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{5}{6} \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}        $
$\Rightarrow     \overrightarrow{AG}=\frac{5}{18}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}     (*)$

c) $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AB}+k \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+k(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC} )=\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{BA}+k \overrightarrow{AC}       $
$= (1-k)\overrightarrow{AB}+k \overrightarrow{AC}               (**)$
Điều kiện cần và đủ để $AI$ đi qua $G$ là $\overrightarrow{AG}, \overrightarrow{AI}$ cùng phương
$\Leftrightarrow      \frac{5}{18}k=\frac{1}{3}(1-k)     \Leftrightarrow      k=\frac{6}{11}$      do   $(*), (**)$.

Bài 109129

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109129

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan