Bài 109098

Question

Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y= \frac{ k- \sin x }{ \cos x +2}$ nhỏ hơn $\frac{ 1}{3}$

score 0 · Answer 1

Ta có:
$y=\frac{k-\sin x}{\cos x+2}$
$\Leftrightarrow y.\cos x+2y=k-\sin x$
$\Leftrightarrow \sin x+y.\cos x=k-2y$
Để tồn tại x thỏa mãn thì phải có
$1+y^2\ge (k-2y)^2$
$\Leftrightarrow 1-k^2\ge 3y^2-4ky$
$\Leftrightarrow 3y^2-4ky+k^2-1\le0$.
Coi vế trái là tam thức bậc 2 ẩn y tham số k thì tam thức đó có 2 nghiệm và y sẽ thuộc đoạn 2 nghiệm đó.
$\Delta'=4k^2-3(k^2-1)=k^2+3.$
Suy ra min y là nghiệm bé hơn.
$\Leftrightarrow \min y= \frac{ 2k- \sqrt{ k^{2}+3}}{3}$
Theo đề bài, ta phải có :
$\frac{ 2k- \sqrt{ k^{2}+3}}{3}< \frac{ 1}{3}$
$\Leftrightarrow 2k-1 < \sqrt{ k^{2}+3} $
$\Leftrightarrow 3k^{2}-4k-2 <0$
$\Rightarrow \frac{ 2- \sqrt{ 10}}{3}<k< \frac{ 2+ \sqrt{ 10}}{3}$

Vậy giá trị cần tìm là:$$\frac{ 2- \sqrt{ 10}}{3}<k< \frac{ 2+ \sqrt{ 10}}{3}$$

Bài 109098

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109098

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan