Bài 109096

Question

Cho $\Delta ABC, M và N$ xác định bởi:
$3 \overrightarrow{MA}+4 \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}; \overrightarrow{NB}-3 \overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0} $. Trọng tâm của $\Delta ABC$ là $G$.
1. Chứng mỉnh rằng $M,N,G$ thẳng hàng.
2. Tính $\overrightarrow{AC} $ theo $\overrightarrow{AG} $ và $\overrightarrow{AN} $, và $AC$ cắt $GN$ tại $P$. Tính $\frac{PA}{PC}. $

score 0 · Answer 1

$1.$ Ta có:
$3 \overrightarrow{MA}+4 \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow 3 \overrightarrow{GA}+4 \overrightarrow{GB}= 7 \overrightarrow{GM}   $
$\overrightarrow{NB}-3 \overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{GB}-3 \overrightarrow{GC}=-2 \overrightarrow{GN}   $
$\Rightarrow    \overrightarrow{GB}+3(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB} )=-2 \overrightarrow{GN} $
$\Rightarrow    3\overrightarrow{GA} +4 \overrightarrow{GB}=-2 \overrightarrow{GN}   $ ( vì $G$ là trọng tâm của $\triangle ABC$)
Vậy: $7 \overrightarrow{GM}=-2 \overrightarrow{GN} $. Suy ra $G, N, M$ thẳng hàng.

$2.$ Gọi $E$ là trung điểm của $BC$, ta có:
$EC=EB=CN     \Rightarrow     2 \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AN}   $
$\Rightarrow 2 \overrightarrow{AC}=\frac{3}{2} \overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AN}       \Rightarrow     \overrightarrow{AC}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AG}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AN}        (*)$
Gọi $P'$ thuộc đường thẳng $GN$ và thỏa mãn: $\frac{3}{4}\overrightarrow{P'G}+\frac{1}{2}\overrightarrow{P'N}=\overrightarrow{0}     $
Từ $(*)$ ta có: $\overrightarrow{AC}=(\frac{3}{4}+\frac{1}{2} )\overrightarrow{AP'}     \Rightarrow      A,C,P'$ thẳng hàng,
Vậy:   $P'= AC \cap GN      \Rightarrow     P \equiv P'    \Rightarrow     \overrightarrow{AC}=\frac{5}{4} \overrightarrow{AP}   $
    $\Rightarrow     \overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PC}=\frac{5}{4} \overrightarrow{AP}               \Rightarrow     \overrightarrow{PC}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{PA}     \Rightarrow      \frac{PA}{PC}=4. $

Bài 109096

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109096

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan