$ 1$. Vì $G$ là trọng tâm của tứ giác $ABCD$ nên: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0} (1)$
Mặt khác $A'$ là trọng tâm của $\Delta BCD$ nên:
$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=(\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{A'B} )+(\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{A'C} )+(\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{A'D} )
$
$\Rightarrow 3 \overrightarrow{GA' } =\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD} (2)$
Từ $(1),(2) \Rightarrow \overrightarrow{GA}=-3 \overrightarrow{GA'} $
$\Rightarrow 3$ điểm $G,A,A'$ thẳng hàng.
Chứng minh tương tự, ta cũng có
$G,B,B'$ thẳng hàng, $G,C,C'$ thẳng hàng, $G,D,D'$ thẳng hàng.
Vậy $G$ là điểm chung của $4$ đoạn $AA', BB', CC',DD'.$
$2.$ Từ kết quả $(2)$ ta có $G$ chia các đoạn thẳng $AA', BB', CC',DD'$ theo tỉ số $(-3).$
$3.$ Từ $(1), (2)$ ta có:
$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=-3(\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}+\overrightarrow{GD'} )=\overrightarrow{0} $
Hay $\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}+\overrightarrow{GD'} =\overrightarrow{0} $
Nên $G$ cũng là trọng tâm của tứ giác $A'B'C'D'.$