Bài 108942

Question

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ với $\alpha,a,b$ là những số cho trước, xét phép biến hình $F$ biến mỗi điểm $M(x;y)$ thành điểm $M'(x';y')$ trong đó :
$\begin{cases}x'=xcos\alpha-ysin\alpha+a \\ y'=xsin\alpha+ycos\alpha+b \end{cases} $
$a.$ Cho hai điểm $M(x_1;y_1),N(x_2;y_2)$ và gọi $M',N'$ lần lượt là ảnh của $M,N$ qua phép $F$. Hãy tìm tọa độ của $M',N'$
$b.$ Tính khoảng cách $d$ giữa $M,N$ khoảng cách $d'$ giữa $M',N'$
$c.$ Phép $F$ có phải là phép dời hình hay không?
$d.$ Khi $\alpha=0$ chứng tỏ rằng $F$ là phép tịnh tiến

score 0 · Answer 1

$a.$ Ta lần lượt có :
$M'(x_1cos\alpha-y_1.sin\alpha+a;x_1sin\alpha+y_1cos\alpha+b)$
$N'(x_2cos\alpha-y_2sin\alpha+a;x_2sin\alpha+y_2cos\alpha+b)$
$b.$ Ta lần lượt có :
$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} (1)$
$(d')^2=(M'N')^2=[(x_2.cos\alpha-y_2sin\alpha)-(x_1cos\alpha-y_1sin\alpha)]^2$
$+[(x_2sin\alpha+y_2cos\alpha)-(x_1sin\alpha+y_1cos\alpha)]^2$
$=[(x_2-x_1)cos\alpha-(y_2-y_1)sin\alpha]^2+[(x_2-x_1)sin\alpha+(y_1-y_1)cos\alpha]^2$
$=(x_2-x_1)^2(cos^2\alpha+sin^2\alpha)+(y_2-y_1)^2(sin^2\alpha+cos^2\alpha)$
$=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$
$\Leftrightarrow d'=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} (2)$
$c.$ Từ $(1),(2)$ suy ra $d=d'$ (hay $MN=M'N'$)
Vậy phép biến hình $F$ bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên theo định nghĩa nó là một phép dời hình.
$d.$ Với $\alpha=0$ ta thấy :
$\begin{cases}x'=xcos0-ysin0+a \\ y'=xsin0+ycos0+b \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x'=x+a \\ y'=y+b \end{cases} \Rightarrow F$ là phép tịnh tiến

Bài 108942

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108942

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan