Bài 108923

Question

Cho tam giác $ABC$, gọi $A_1, C_1, B_1 $ được định bới:

$2 \overrightarrow{A_1B}+3 \overrightarrow{A_1C}= \overrightarrow{0}, 2 \overrightarrow{B_1C}+3 \overrightarrow{B_1A}=\overrightarrow{0}, 2 \overrightarrow{C_1A}+3 \overrightarrow{C_1B}=\overrightarrow{0} $

Chứng minh rằng tam giác $ABC$ và $A_1B_1C_1$ có cùng trọng tâm.

score 0 · Answer 1

Gọi $G_1$ là trọng tâm của $\Delta A_1B_1C_1$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.
Ta chứng minh   $G\equiv G_1     \Leftrightarrow       \overrightarrow{GG_1}=\overrightarrow{0} $
Ta có: $2\overrightarrow{A_1B}+3 \overrightarrow{A_1C}=\overrightarrow{0}    \Leftrightarrow     2(\overrightarrow{A_1G}+\overrightarrow{GB} )+3(\overrightarrow{A_1G}+\overrightarrow{GC} )=\overrightarrow{0}$
$\Rightarrow     2 \overrightarrow{GB}+3 \overrightarrow{GC}=5 \overrightarrow{GA_1}   $
Tương tự ta có: $2 \overrightarrow{GC}+3 \overrightarrow{GA}=5 \overrightarrow{GB_1}$
                              $2 \overrightarrow{GA}+3 \overrightarrow{GB}=5 \overrightarrow{GC_1}$
Cộng ba đẳng thức trên vế với vế ta có:

$5(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} )=5(\overrightarrow{GA_1}+\overrightarrow{GB_1}+\overrightarrow{GC_1} )$

          $\overrightarrow{0}= \overrightarrow{GA_1}+\overrightarrow{GB_1}+\overrightarrow{GC_1} $
$\Rightarrow    \overrightarrow{0}=\overrightarrow{GG_1}+\overrightarrow{G_1C_1}+\overrightarrow{GG_1}+\overrightarrow{G_1A_1}+\overrightarrow{GG_1}+\overrightarrow{G_1B_1}     $
          $\overrightarrow{0}=3 \overrightarrow{GG_1}      \Rightarrow      G\equiv G_1.$

Bài 108923

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108923

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan