Bài 108832

 a) Với  $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3} \overrightarrow{AB}     \Rightarrow     \overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AB}  $  là hai vec-tơ cùng hướng và  $AM=\frac{2}{3}AB $
         $\overrightarrow{AN}=-\frac{2}{3} \overrightarrow{AC}      \Rightarrow      \overrightarrow{AN}, \overrightarrow{AC}  $  là hai vec-tơ ngược hướng và  $AN=\frac{2}{3}AC .$

b) Ta có: $\overrightarrow{AM}= \alpha \overrightarrow{AB}  $
               $\overrightarrow{AN}= \beta \overrightarrow{AC}  $
$\Rightarrow     \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}=\alpha \overrightarrow{AB}- \beta \overrightarrow{AC}    $
$\Rightarrow     \overrightarrow{NM}=\alpha \overrightarrow{AB}- \beta \overrightarrow{AC}   $
$\Rightarrow     \overrightarrow{NM}=\alpha (\overrightarrow{AB}- \frac{\beta}{\alpha} \overrightarrow{AC}   ), \alpha \neq 0. $
Ta cũng có  $\overrightarrow{BC}=-(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}  ) $
Do đó để  $MN\parallel BC$  thì  $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}  $  và  $\overrightarrow{AB}-\frac{\beta}{\alpha} \overrightarrow{AC}   $  phải cùng phương cho ta  $\frac{\beta}{\alpha}=1    \Rightarrow     \beta=\alpha.$