Bài 108816

Question

Cho $x,y$ là số thực liên hệ với nhau bởi hệ thức
$Q=(x^2-y^2+1)^2+4x^2y^2-x^2-y^2=0 (1)$
Chứng minh $\frac{3-\sqrt{5}}{2} \leq x^2+y^2\leq \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

score 0 · Answer 1

Viết lại $Q=9x^2-6(2y-z)x+20y^2+4z^2+myz$. Xem $Q$ đa thức đối với ẩn $x$
   Ta có: $\Delta'_x=9[(2y-z)^2-(20y^2+4z^2+myz)]=9U$
   Với $U=(2y-z)^2-(20y^2-x^2+myz)=16y^2-(m+4)zy-3z^2$
   Gọi $\Delta_y=(m+4)^2z^2+4.16.3z^2=[(m+4)^2-2^6.3]z^2$
Áp dụng $(I)$ sẽ có $Q=9[x-\frac{1}{3}(2y-z)]^2-\frac{\Delta'_x}{9}$
* Suy ra $Q\geq 0, \forall x \in R, \forall z\in R \Leftrightarrow \Delta'_x \leq 0, \forall y \in R, \forall z\in R$
$\Leftrightarrow U \leq 0, \forall y \in R, \forall z\in R     (1)$
* Lại có $U=-16[y+\frac{(m+4)z}{32}]^2+\frac{\Delta_y}{64}$
Suy ra $(1) \Leftrightarrow \Delta_y=[(m+4)^2-2^63]z^2 \leq 0, \forall z\in R \Leftrightarrow (m+4)^2-2^63 \leq 0$
       $\Leftrightarrow |m+4| \leq 8\sqrt{3} \Leftrightarrow -4-8\sqrt{3} \leq m \leq -4+8\sqrt{3}$

Gọi $U=x^2+y^2$ cấu trúc biểu thức $Q$ sẽ có dạng
$Q=(U-\frac{3+\sqrt{5}}{2})(U-\frac{3-\sqrt{5}}{2}+[f(x;y)]^2$ Do $[f(x;y)]^2 \geq 0, \forall x$ nên từ
$Q=0 \Rightarrow (U-\frac{3+\sqrt{5}}{2})(U-\frac{3-\sqrt{5}}{2})\leq 0 \Rightarrow $ có $(2)$ (đpcm)
Trong $(2)$ xảy ra dấu đẳng thức $\Leftrightarrow Q=0 \Leftrightarrow f(x;y)=0$
* Ta có: $Q=[(x^2-y^2)+1]^2+4x^2y^2-x^2-y^2=(x^2-y^2)^2+2(x^2-y^2)+1+ax^2y^2-x^2-y^2$
           $=[x^2+y^2]^2-3(x^2+y^2)+1+4x^2=U^2-3U+1+4x^2$
Vì thế $(1) \Leftrightarrow U^2-3U+1+4x^2=0 \Leftrightarrow (U-\frac{3}{2})^2=\frac{5}{4}-4x^2 \Rightarrow |U-frac{3}{2}|\leq \frac{\sqrt{5}}{2}, \forall x$
* Dấu đẳng thức: $U=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \Leftrightarrow \begin{cases}x=0 \\ x^2+y^2=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=0 \\ y=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \end{cases}$
                $U=\frac{3+\sqrt{5}}{2} \Leftrightarrow \begin{cases}x=0 \\ x^2+y^2=\frac{3+\sqrt{5}}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=0 \\ y=\frac{\sqrt{5}+1}{2} \end{cases}$
* Do vậy: $GTNN(U)=\frac{3-\sqrt{5}}{2}; GTLN (U)=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

Bài 108816

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108816

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan