Bài 108801

Question

Chứng minh $\forall x\in R, \forall y\in R$ luôn có $Q \geq 0$ với:
a) $Q=x^2+2xy+3y^2+2x+6y+3$
b) $Q=4x^2+13y^2-12xy-4y+1$

score 0 · Answer 1

a) Viết lại $Q=x^2+\underbrace {2(y + 1)x}_B+\underbrace {(3y^2+6y+3)}_C$. Xem $Q$ đa thức đối với ẩn $x$
Ta có $\Delta'_x=(y+1)^2-(3y^2+6y+3)=-2(y+1)^2$
Áp dụng $(I)$ sẽ có $Q=(x+y+1)^2+2(y+1)^2\geq 0 \Rightarrow Q\geq 0, \forall x\in R, \forall y \in R$ (đpcm)
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $\begin{cases}x+y-1=0 \\ y+1=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=0 \\ y=-1 \end{cases}$
b) Viết lại $Q=4x^2-12xy+13y^2-4y+1$ Xem $Q$ đ thức đối với ẩn $x$
Ta có $\Delta'_x=36y^2-4(13y^2-4y+2)=4[9y^2-(13y^2-4y+1)]=-4(2y-1)^2$
Áp dụng $(I)$ sẽ có $Q=(2x-3y)^2+(2y-1)^2 \Rightarrow Q\geq 0, \forall x\in R, \forall y\in R$ (đpcm)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases}2x-3y=0= \\ 2y-1=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=-\frac{3}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$

Bài 108801

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108801

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan