Bài 108732

Question

Cho $\Delta ABC$, các đường cao $AA_1, BB_1, CC_1$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh rằng:
a. $\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{HA_1}=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{HB_1}=\overrightarrow{HC}.\overrightarrow{HC_1}      $
b. $\overrightarrow{A_1H}.\overrightarrow{A_1A}=\overrightarrow{A_1B}.\overrightarrow{A_1C}    $
c. $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{CC_1} =\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)      $

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/19/2012 4:24:07 PM

a. Tứ giác $ABA_1B_1$ nội tiếp, do đó:   $\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{HA_1}=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{HB_1}      (1)$
Tứ giác $ACA_1C_1$ nội tiếp,do đó:         $\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{HA_1}=\overrightarrow{HC}.\overrightarrow{HC_1}    (2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra điều phải chứng minh.

b. Gọi $A_2$ là điểm đối xứng với $H$ qua $BC$, suy ra $A_2\in (ABC)$, ta được:
$\overrightarrow{A_1B}.\overrightarrow{A_1C}=\overrightarrow{A_1A_2}.\overrightarrow{A_1A}=\overrightarrow{A_1H}.\overrightarrow{A_1A}$      (đpcm)

c. Ta có:
$\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB_1}      $
$\Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AA_1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC_1}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB_1})   (3)$
Tương tự ta cũng có:
$\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{BB_1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA_1}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC_1})   (4)$
$\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{CC_1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB_1}+\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA_1})   (5)$

Cộng theo vế $(3), (4), (5)$ ta được:
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}} + \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {B{B_1}} + \overrightarrow {CH} .\overrightarrow {C{C_1}} \\
= \frac{1}{2}\left[ {(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {A{B_1}} ) + (\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {B{A_1}} + \overrightarrow {BA.} \overrightarrow {B{C_1}} ) + (\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {C{B_1}} + \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {C{A_1}} )} \right]\\
= \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} (\overrightarrow {A{C_1}} - \overrightarrow {B{C_1}} ) + \overrightarrow {BC} (\overrightarrow {B{A_1}} - \overrightarrow {C{A_1}} ) + \overrightarrow {CA} (\overrightarrow {C{B_1}} - \overrightarrow {A{B_1}} )} \right]\\
= \frac{1}{2}(\overrightarrow {A{B^2}} + \overrightarrow {B{C^2}} + \overrightarrow {C{A^2}} ) = \frac{1}{2}({a^2} + {b^2} + {c^2})
\end{array}$

Bài 108732

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108732

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan