Bài 108707

Question

Cho hình chóp

$S.ABCD$ có đáy

$ABCD$ là hình chữ nhật có

$AB=a,BC=a\sqrt{3}$ .Cạnh bên

$SA$ vuông góc với đáy và

$SA=a$

$a.$ Tìm điểm

$O$ cách đều

$S,A,B,C,D$ và tính khoảng cách từ

$O$ đến các đỉnh.

$b.$ Gọi

$B_1,C_1,D_1$ lần lượt là hình chiếu của điểm

$A$ trên các đường thẳng

$SA,SC,SD$ . Chứng minh các điểm

$A,B_1,C_1,D_1$ cùng thuộc một mặt phẳng.

$c.$ Tính góc giữa các mặt phẳng

$(SCD)$ và

$(ABCD)$

score 0 · Answer 1

$a.$ Cách

$1$ Vì

$SA\bot (ABCD)$ và

$CD\bot AD$ nên

$CD\bot SD$
Tương tự ta cũng có

$CB\bot BS$
Ngoài ra

$CA\bot SA$
Vậy điểm cách đều

$S,A,B,C,D$ là trung điểm

$O$ của

$SC$
Ta có :

$OS=\frac{1}{2} SC$

$SC^2=SA^2+AC^2=a^2+a^2+3a^2=5a^2$
Vậy

$OS=\frac{a\sqrt{5} }{2}$
Cách

$2$ . Có thể xác định điểm

$O$ cách đều

$S,A,B,C,D$ bằng cách khác như sau :
Gọi

$O_1$ là giao điểm của

$AC$ và

$BD$ .Kẻ

$O_1t$ vuông góc với

$(ABCD)$ thì mọi điểm thuộc

$O_1t$ sẽ cách đều

$A,B,C,D$
Do

$O_1A=O_1C,SA\bot (ABCD)$ nên

$O_1t$ qua trung điểm

$O$ của

$SC$ .Do dó,

$O$ cách đều

$S,A,B,C,D$

$b.$ Dễ thấy

$BC\bot (SAB)$ do đó

$AB_1\bot BC$ .Hơn nữa, ta có :

$AB_1\bot SB$ nên

$AB_1\bot SC$ .tương tự ta cũng có

$AD_1\bot SC$ ,ngoài ra

$AC_1\bot SC$ .Vậy

$A,B_1,C_1,D_1$ cùng thuộc một mặt phẳng.

$c.$ Ta có :

$(SCD)\cap (ABCD)=CD,AD\bot DC,SD\bot DC$
Vậy góc giữa

$mp(SCD)$ và

$mp(ABCD)$ bằng góc giữa

$AD$ và

$SD$ .Mặt khác, tam giác

$SAD$ vuông tại

$A$ nên góc giữa

$AD$ và

$SD$ là góc nhọn

$\widehat{SDA}$ .Ta có:

$tan\widehat{SDA}=\frac{SA}{AD}=\frac{a}{a\sqrt{3} }=\frac{1}{\sqrt{3} } \Rightarrow \widehat{SDA}=30^0$

Bài 108707

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108707

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan