Bài 108707

Question

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=a,BC=a\sqrt{3} $.Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a$
$a.$ Tìm điểm $O$ cách đều $S,A,B,C,D$ và tính khoảng cách từ $O$ đến các đỉnh.
$b.$ Gọi $B_1,C_1,D_1$ lần lượt là hình chiếu của điểm $A$ trên các đường thẳng $SA,SC,SD$. Chứng minh các điểm $A,B_1,C_1,D_1$ cùng thuộc một mặt phẳng.
$c.$ Tính góc giữa các mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$

score 0 · Answer 1

$a.$ Cách $1$ Vì $SA\bot (ABCD)$ và $CD\bot AD$ nên $CD\bot SD$
Tương tự ta cũng có $CB\bot BS$
Ngoài ra $CA\bot SA$
Vậy điểm cách đều $S,A,B,C,D$ là trung điểm $O$ của $SC$
Ta có : $OS=\frac{1}{2} SC$
$SC^2=SA^2+AC^2=a^2+a^2+3a^2=5a^2$
Vậy $OS=\frac{a\sqrt{5} }{2} $
Cách $2$. Có thể xác định điểm $O$ cách đều $S,A,B,C,D$ bằng cách khác như sau :
Gọi $O_1$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.Kẻ $O_1t$ vuông góc với $(ABCD)$ thì mọi điểm thuộc $O_1t$ sẽ cách đều $A,B,C,D$
Do $O_1A=O_1C,SA\bot (ABCD)$ nên $O_1t$ qua trung điểm $O$ của $SC$.Do dó, $O $ cách đều $S,A,B,C,D$
$b.$ Dễ thấy $BC\bot (SAB)$ do đó $AB_1\bot BC$.Hơn nữa, ta có : $AB_1\bot SB$ nên $AB_1\bot SC$.tương tự ta cũng có $AD_1\bot SC$,ngoài ra $AC_1\bot SC$.Vậy $A,B_1,C_1,D_1$ cùng thuộc một mặt phẳng.
$c.$ Ta có :
$(SCD)\cap (ABCD)=CD,AD\bot DC,SD\bot DC$
Vậy góc giữa $mp(SCD)$ và $mp(ABCD)$ bằng góc giữa $AD$ và $SD$.Mặt khác, tam giác $SAD$ vuông tại $A$ nên góc giữa $AD$ và $SD$ là góc nhọn $\widehat{SDA} $.Ta có:
$tan\widehat{SDA}=\frac{SA}{AD}=\frac{a}{a\sqrt{3} }=\frac{1}{\sqrt{3} } \Rightarrow \widehat{SDA}=30^0 $

Bài 108707

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108707

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan