Bài 108703

Question

Cho tứ giác $ABCD$. Hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Gọi $H, K$ lần lượt là trực tâm của tam giác $ABO$ và $CDO$. $I, J$ là trung điểm của $AD, BC$. Chứng minh $HK\bot IJ$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/19/2012 3:06:17 PM

Ta có: $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ}    $
$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CJ}    $
$\Rightarrow \overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC} ) $
Xét:
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {HK} .\overrightarrow {{\rm{I}}J} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OK} - \overrightarrow {OH} ).(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} )\\
                = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OK} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OK} .\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {DC} )\\
                = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OK} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {DC} )\\
                = \frac{1}{2}\left[ {(\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {CK} ).(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} ) - (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AH} ).(\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} )} \right]\\
                = \frac{1}{2}\left[ {(\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {AH} ).\overrightarrow {OC} - (\overrightarrow {CK} + \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} ).\overrightarrow {OA} } \right]\\
                = \frac{1}{2}\left[ {(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} ).\overrightarrow {OC} - (\overrightarrow {DO} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {CK} ).\overrightarrow {OA} } \right]\\
                = \frac{1}{2}(\overrightarrow {HB} .\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {DK} .\overrightarrow {OA} ) = 0\\
\Leftrightarrow HK \bot {\rm{I}}J
\end{array}$

Bài 108703

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108703

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan