Phương trình chính tắc của elip:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $
a) Elip đi qua $M(0;3):$
$\frac{0^2}{a^2}+\frac{3^2}{b^2}=1 \Rightarrow b^2=9$
Elip đi qua $N(3;-\frac{12}{5} )$:
$\frac{3^2}{a^2}+ \frac{(\frac{-12}{5})^2 }{9}=1 \Rightarrow a^2=25.$
Phương trình chính tắc của elip: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1. $
b) Ta có: $c=\sqrt{3} \Rightarrow c^2=3$
Elip đi qua $M(1; \frac{\sqrt{3} }{2} )$:
$\frac{1}{a^2}+\frac{(\frac{\sqrt{3} }{2} )^2}{b^2}=1 \Rightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{3}{4b^2}=1 (*) $
Mặt khác $c^2=a^2-b^2$
$\Rightarrow 3=a^2-b^2 \Rightarrow a^2=b^2+3.$
Thế vào $(*)$ ta được $\frac{1}{b^2+3}+\frac{3}{4b^2}=1 $
$\Leftrightarrow 4b^2+5b^2-9=0 \Rightarrow b^2=1; b^2=-\frac{9}{4} $ (loại)
Với $b^2=1$ $\Rightarrow a^2=4$.
Phương trình cần tìm: $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1. $