Bài 108676

Question

Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a.$Gọi $I,J,K$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD,BD$
$a.$ Chứng minh rằng $(ABJ)$ là mặt phẳng trung trực của $CD$, đồng thời mặt phẳng này tạo với hai mặt phẳng $(CAB),(DAB)$ hai góc bằng nhau.
$b,$ Tính số đo của góc tạo bởi $mp(ACK)$ và $mp(ABJ)$

score 0 · Answer 1

$a.$ Các mặt của tứ diện là các tam giác đều, nên $AJ,BJ$ cùng vuông góc với $CD$.Vậy $AB\bot mp(ABJ)$ tại trung điểm $J$ của $CD$ nên nó là mặt phẳng trung trực của $CD$
Hơn nữa, ta lại có $CI\bot AB,DI\bot AB,JI\bot AB$ (tam giác $AJiB$ cân tại $J$) nên góc giữa mặt phẳng $(ABJ), (CAB),(DAB)$ lần lượt là hai góc nhọn $\widehat{CIJ},\widehat{DIJ} $.Rõ ràng ta có : $\widehat{CIJ}=\widehat{DIJ} $ đều phải chứng minh.
$b,$ ta có : $(ABJ)\bot (BCD)$ và $(ACK)\bot (BCD)$
Ta có : $(ABJ)\cap (ACK)=AO$ ($O$ là giao điểm $BJ,CK$).Ta có $CD\bot mp(ABJ)$ do đó $CD\bot AO$.Tương tự $BD\bot mp(AKC)$ nên $BD\bot AO$.Suy ra $AO\bot (BCD)$, do đó $AO\bot BO$ và $AO\bot CO$.Vậy góc giữa hai đường thẳng $BO,CO$ chính là góc tạo bởi $mp(ACK),mp(ABJ)$
Sau cùng, vì $\Delta BCD$ đều có $O$ là tâm nên $\widehat{BOC}=120^0 $
Vậy góc tạo bởi $mp(ACK),mp(ABJ)$ là $60^0$

Bài 108676

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108676

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan